Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

⚖️Ιδιότητες ισότητας

•
Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη μιας ισότητας, προκύπτει και πάλι ισότητα. $Αν α = β τ \overset{ο}{ˊ} τε α + γ = β + γ και α - γ = β - γ$
•
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο αριθμό $(\neq = 0)$ , προκύπτει και πάλι ισότητα. $Αν α = β τ \overset{ο}{ˊ} τε α \cdot γ = β \cdot γ και \frac{α}{γ} = \frac{β}{γ} (γ \neq = 0)$
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} 5 x = 30 διαιρ \overset{ω}{ˊ} ντας μ ε 5 και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο μ \overset{ε}{ˊ} λη : x = 6.$

🔑Επίλυση εξίσωσης

•
Πρακτικός κανόνας: σε μια εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους.
💡 Παράδειγμα:
$3 x + 200 = x + 600 \to 3 x - x = 600 - 200 \to 2 x = 400 \to x = 200.$
▶️ Ζυγαριά: μεταφέρουμε όρους από μέλος σε μέλος αφαιρώντας ίσες ποσότητες και από τις δύο πλευρές.
x + 5 = 12
Αριστερό μέλος
x
1
1
1
1
1
=
Δεξί μέλος
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Η ζυγαριά ισορροπεί. Πάτα ▶ για να δεις πώς λύνουμε την εξίσωση.
Ταχύτητα
❓ Γιατί:Η «μεταφορά με αλλαγή προσήμου» είναι συντόμευση: στην ουσία αφαιρούμε τον ίδιο όρο και από τα δύο μέλη. Π.χ. αφαιρώντας $x$ και από τις δύο πλευρές της $3 x + 200 = x + 600$ , παίρνουμε $2 x + 200 = 600$ — δηλαδή το $x$ έφυγε από δεξιά «αλλάζοντας πρόσημο».
•
Βήματα επίλυσης: 1) απαλοιφή παρονομαστών ( $\frac{πολ}{μ ο ˊ ς}$ με ΕΚΠ) 2) πράξεις (επιμεριστική) 3) χωρίζω γνωστούς από αγνώστους 4) αναγωγή ομοίων 5) διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{y}{2} + y = \frac{2 y + 3}{3} + 4 \to \frac{πολ}{μ ο ˊ ς} μ ε 6 \to 3 y + 6 y = 4 y + 6 + 24 \to 9 y = 4 y + 30 \to 5 y = 30 \to y = 6.$

⚠️Ειδικές περιπτώσεις

•
Αν μετά την επίλυση καταλήξουμε σε $0 \cdot x = c$ (με $c \neq = 0$ ), η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση).
💡 Παράδειγμα:
$2 (3 - x) + 4 (x - 1) = 2 x + 5 \to 0 x = 3 \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατη .$
•
Αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x = 0$ , η εξίσωση είναι ταυτότητα (επαληθεύεται για κάθε τιμή του $x$ ).
💡 Παράδειγμα:
$2 (x + 3) = 2 x + 6 \to 2 x + 6 = 2 x + 6 \to 0 x = 0 \to ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα .$
❓ Γιατί:Όταν στην τελική γραμμή «εξαφανίζεται» ο άγνωστος, η ισότητα είτε ισχύει πάντα (αν τα δύο μέλη είναι ίσα → ταυτότητα) είτε δεν ισχύει ποτέ (αν είναι διαφορετικά → αδύνατη).
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ο αριθμός

x = - 9

είναι λύση της εξίσωσης

- 2 x + 3 = 21

2Σωστό / Λάθος

Όταν μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζει το πρόσημό του.

3Σωστό / Λάθος

Η εξίσωση

0 \cdot x = 5

έχει λύση το

x = 0

4Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την εξίσωση

5 x = 30

5Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την εξίσωση

3 x + 200 = x + 600

6Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την εξίσωση

2 x + 21 = 4 + x - 5

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-1.2-e1
Λύσε την εξίσωση: $4 + 2 x = 8$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2 x = 8 - 4 = 4$
2. 2
  $x = 2$ .
2Εύκολοgb-1.2-e5
Να λύσεις τις εξισώσεις: α) $2 x + 21 = 4 + x - 5$ , β) $- 9 + 7 y + y = 1 - 2 y$ , γ) $3 t - 3 (t + 1) = t + 2 (t + 1) + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) $2 x - x = 4 - 5 - 21$ , δηλαδή $x = - 22$ .
2. 2
  β) $7 y + y + 2 y = 1 + 9$ , δηλαδή $10 y = 10$ και $y = 1$ .
3. 3
  γ) Κάνουμε τις επιμεριστικές: $3 t - 3 t - 3 = t + 2 t + 2 + 1$ , δηλαδή $- 3 = 3 t + 3$ .
4. 4
  Άρα $3 t = - 6$ και $t = - 2$ .
3Μεσαίοgb-1.2-m8
Να χαρακτηρίσεις κάθε πρόταση ως σωστή ή λανθασμένη: α) η εξίσωση $2 x = 6$ έχει λύση τον αριθμό 3, β) η εξίσωση $5 x + x = x$ είναι ταυτότητα, γ) οι εξισώσεις $x + 1 = 5$ και $- x + 5 = 1$ έχουν λύση τον ίδιο αριθμό, δ) η εξίσωση $3 x = 0$ είναι ταυτότητα, ε) η εξίσωση $0 \cdot x = 0$ είναι αδύνατη.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Σωστή: $2 \cdot 3 = 6$ .
2. 2
  β) Λανθασμένη: $5 x + x = x$ δίνει $6 x - x = 0$ , δηλαδή $5 x = 0$ και $x = 0$ .
3. 3
  Έχει ΜΙΑ λύση, δεν είναι ταυτότητα.
4. 4
  γ) Σωστή: η πρώτη δίνει $x = 4$ και η δεύτερη $- x = - 4$ , δηλαδή πάλι $x = 4$ .
5. 5
  δ) Λανθασμένη: η $3 x = 0$ έχει τη μοναδική λύση $x = 0$ .
6. 6
  Ταυτότητα λέμε την εξίσωση που επαληθεύεται για ΚΑΘΕ τιμή.
7. 7
  ε) Λανθασμένη, και εδώ είναι η παγίδα: η $0 \cdot x = 0$ επαληθεύεται για κάθε $x$ , άρα είναι ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ.
8. 8
  Αδύνατη είναι η $0 \cdot x = c$ όταν το $c$ ΔΕΝ είναι μηδέν.
9. 9
  Μη μπερδεύεις τις δύο περιπτώσεις: όταν χαθεί ο άγνωστος, κοίτα τι έμεινε στο δεύτερο μέλος.
4Μεσαίοgb-1.2-m5
Να λύσεις τις εξισώσεις: α) $4 (2 x + 1) - 6 (x - 1) = 3 (x + 2)$ , β) $3 (y + 1) + 2 (y - 4) = 2 y - (y - 6)$ , γ) $6 (ω + 2) + 3 = 3 - 2 (ω - 4)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) $8 x + 4 - 6 x + 6 = 3 x + 6$ , δηλαδή $2 x + 10 = 3 x + 6$ , οπότε $x = 4$ .
2. 2
  β) $3 y + 3 + 2 y - 8 = 2 y - y + 6$ , δηλαδή $5 y - 5 = y + 6$ , οπότε $4 y = 11$ και $y = \frac{11}{4}$ .
3. 3
  γ) $6 ω + 12 + 3 = 3 - 2 ω + 8$ , δηλαδή $6 ω + 15 = 11 - 2 ω$ , οπότε $8 ω = - 4$ και $ω = - \frac{1}{2}$ .
4. 4
  Πρόσεξε το πρόσημο στο $- 2 (ω - 4)$ : γίνεται $- 2 ω + 8$ .
5Μεσαίοgb-1.2-m3
Λύσε την εξίσωση με κλάσματα: $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2} + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{Πολ}{μ ο ˊ ς} \times 6$ : $2 (2 x + 1) = 3 (x - 2) + 6$
2. 2
  $4 x + 2 = 3 x$
3. 3
  $x = - 2$ .
6Μεσαίοgb-1.2-m1
Λύσε: $6 (1 - x) - 3 (1 - x) = 12$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $6 - 6 x - 3 + 3 x = 12$
2. 2
  $- 3 x + 3 = 12$
3. 3
  $- 3 x = 9$
4. 4
  $x = - 3$ .
7Μεσαίοgb-1.2-m6
Να λύσεις τις εξισώσεις: α) $\frac{2 x + 3}{2} = \frac{3 x - 5}{4}$ , β) $\frac{7 x - 6}{3} = \frac{5 x + 2}{4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το ΕΚΠ των παρονομαστών, που είναι 4.
2. 2
  Στο πρώτο μέλος το 4 διαιρείται με το 2 και μένει 2, οπότε παίρνουμε $2 (2 x + 3)$ .
3. 3
  Στο δεύτερο μέλος το 4 διαγράφεται με το 4 και μένει $3 x - 5$ .
4. 4
  Άρα $2 (2 x + 3) = 3 x - 5$ , δηλαδή $4 x + 6 = 3 x - 5$ , οπότε $x = - 11$ .
5. 5
  β) Το ΕΚΠ των 3 και 4 είναι 12: $4 (7 x - 6) = 3 (5 x + 2)$ , δηλαδή $28 x - 24 = 15 x + 6$ , οπότε $13 x = 30$ και $x = \frac{30}{13}$ .
8Μεσαίοgb-1.2-m7
Για ποια τιμή του $x$ είναι $A = B$ ; α) Αν $A = 5 x - 3$ και $B = 12 - 2 x$ . β) Αν $A = 2 (x - 1) + \frac{3}{2}$ και $B = 6 + \frac{x}{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το «Α = Β» είναι μια εξίσωση.
2. 2
  α) $5 x - 3 = 12 - 2 x$ , δηλαδή $7 x = 15$ και $x = \frac{15}{7}$ .
3. 3
  β) $2 x - 2 + \frac{3}{2} = 6 + \frac{x}{3}$ .
4. 4
  Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ 6: $12 x - 12 + 9 = 36 + 2 x$ , δηλαδή $12 x - 3 = 36 + 2 x$ , οπότε $10 x = 39$ και $x = 3, 9$ .
9Μεσαίοgb-1.2-m2
Λύσε: $y - [- 3 y - 16] = - 3 (1 - y)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $y + 3 y + 16 = - 3 + 3 y$
2. 2
  $4 y + 16 = 3 y - 3$
3. 3
  $y = - 19$ .
10Εύκολοgb-1.2-e4
Να εξετάσεις αν ο αριθμός που δίνεται είναι λύση της εξίσωσης: α) $- 2 x + 3 = 21$ με $x = - 7$ , β) $3 x + 5 = 7, 5$ με $x = 0, 5$ , γ) $- 3 x + 4 = 7 x - 6$ με $x = 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αντικαθιστούμε και ελέγχουμε αν τα δύο μέλη βγαίνουν ίσα.
2. 2
  α) Το πρώτο μέλος γίνεται $- 2 \cdot (- 7) + 3 = 14 + 3 = 17$ .
3. 3
  Το δεύτερο μέλος είναι 21 και τα δύο δεν συμφωνούν, άρα ΔΕΝ είναι λύση.
4. 4
  Η πραγματική λύση είναι $x = - 9$ .
5. 5
  β) Το πρώτο μέλος γίνεται $3 \cdot 0, 5 + 5 = 1, 5 + 5 = 6, 5$ .
6. 6
  Το δεύτερο μέλος είναι 7,5 και τα δύο δεν συμφωνούν, άρα ΔΕΝ είναι λύση.
7. 7
  Η πραγματική λύση βρίσκεται από $3 x = 2, 5$ , δηλαδή $6 x = 5$ και $x = \frac{5}{6}$ .
8. 8
  γ) Πρώτο μέλος: $- 3 \cdot 1 + 4 = 1$ .
9. 9
  Δεύτερο μέλος: $7 \cdot 1 - 6 = 1$ .
10. 10
  Είναι ίσα, άρα ΕΙΝΑΙ λύση.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-1.2-m4
Λύσε την εξίσωση: $\frac{x}{3} - \frac{2 x - 1}{4} = \frac{2 x - 3}{5}$ .
2Μεσαίοgb-1.2-m7
Για ποια τιμή του $x$ είναι $A = B$ ; α) Αν $A = 5 x - 3$ και $B = 12 - 2 x$ . β) Αν $A = 2 (x - 1) + \frac{3}{2}$ και $B = 6 + \frac{x}{3}$ .
3Δύσκολοgb-1.2-h3
Δίνεται η εξίσωση $μ (x + 6) - 2 = (2 μ - 1) x + 2$ . α) Αν $μ = 2$ , να αποδείξεις ότι έχει λύση το $x = 8$ . β) Αν η εξίσωση έχει λύση το $x = 7$ , να αποδείξεις ότι $μ = 3$ . γ) Αν $μ = 1$ , να τη λύσεις.
4Μεσαίοgb-1.2-m3
Λύσε την εξίσωση με κλάσματα: $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2} + 1$ .
5Μεσαίοgb-1.2-m1
Λύσε: $6 (1 - x) - 3 (1 - x) = 12$ .
6Μεσαίοgb-1.2-m8
Να χαρακτηρίσεις κάθε πρόταση ως σωστή ή λανθασμένη: α) η εξίσωση $2 x = 6$ έχει λύση τον αριθμό 3, β) η εξίσωση $5 x + x = x$ είναι ταυτότητα, γ) οι εξισώσεις $x + 1 = 5$ και $- x + 5 = 1$ έχουν λύση τον ίδιο αριθμό, δ) η εξίσωση $3 x = 0$ είναι ταυτότητα, ε) η εξίσωση $0 \cdot x = 0$ είναι αδύνατη.
7Μεσαίοgb-1.2-m5
Να λύσεις τις εξισώσεις: α) $4 (2 x + 1) - 6 (x - 1) = 3 (x + 2)$ , β) $3 (y + 1) + 2 (y - 4) = 2 y - (y - 6)$ , γ) $6 (ω + 2) + 3 = 3 - 2 (ω - 4)$ .
8Μεσαίοgb-1.2-m6
Να λύσεις τις εξισώσεις: α) $\frac{2 x + 3}{2} = \frac{3 x - 5}{4}$ , β) $\frac{7 x - 6}{3} = \frac{5 x + 2}{4}$ .
9Μεσαίοgb-1.2-m2
Λύσε: $y - [- 3 y - 16] = - 3 (1 - y)$ .
10Δύσκολοgb-1.2-h1
Να βρεις την τιμή του λ ώστε η εξίσωση $\frac{2 λ x - 1}{5} = \frac{4 x - 1}{3}$ να είναι αδύνατη.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν η εξίσωση δεν έχει κλάσματα ούτε παρενθέσεις.

Βήματα

1Μετάφερε τους αγνώστους (x) στο ένα μέλος και τους γνωστούς στο άλλο, αλλάζοντας πρόσημα.
2Κάνε αναγωγή ομοίων όρων.
3Διαίρεσε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του $x$ .

Παράδειγμα

- 9 + 7 y + y = 1 - 2 y

⇔

7 y + y + 2 y = 1 + 9

⇔

10 y = 10

⇔

y = 1

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να λύσεις: $2 x + 21 = 4 + x - 5$ .
2
Να λύσεις: $- 9 + 7 y + y = 1 - 2 y$ .
3
Να λύσεις: $4 (2 x + 1) - 6 (x - 1) = 3 (x + 2)$ .
4
Να λύσεις: $6 (ω + 2) + 3 = 3 - 2 (ω - 4)$ .
5
Να λύσεις: $3 t - 3 (t + 1) = t + 2 (t + 1) + 1$ .
6
Να λύσεις: $\frac{2 x + 3}{2} = \frac{3 x - 5}{4}$ .
7
Να λύσεις: $5 x = 30$ .
8
Να εξετάσεις αν το $x = 1$ είναι λύση της $- 3 x + 4 = 7 x - 6$ .
9
Να λύσεις: $2 (3 - x) + 4 (x - 1) = 2 x + 5$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να λύσεις την εξίσωση

\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να βρεις τον αριθμό λ ώστε η εξίσωση

2 x + λ = 5 x - 4

να έχει λύση το

x = 3

Για ποια τιμή του α η εξίσωση

α \cdot x = 6

είναι αδύνατη;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η εξίσωση

3 (x - 2) - (x - 4) = 2 (x - 1)

α) Να τη λύσεις.

β) Τι είδους εξίσωση είναι;

γ) Να την επαληθεύσεις με

x = 0

και

x = 5

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.2 — Εξισώσεις α΄ βαθμού

Ύλη: §1.2Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Το

x = 6

είναι λύση της

5 x = 30

β) Η εξίσωση

0 \cdot x = 0

είναι αδύνατη.

γ) Στην εξίσωση

3 x + 200 = x + 600

η λύση είναι

x = 200

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η εξίσωση

4 (2 x + 1) - 6 (x - 1) = 3 (x + 2)

α) Να τη λύσεις.

β) Να επαληθεύσεις τη λύση.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η εξίσωση

\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 2

α) Να απαλείψεις τους παρονομαστές.

β) Να λύσεις την εξίσωση.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις 1ου βαθμού

← Προηγούμενο

1.1 Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις

Επόμενο →

1.3 Επίλυση τύπων