Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

⚖️Ιδιότητες ισότητας

•
Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη μιας ισότητας, προκύπτει και πάλι ισότητα. $Αν α = β τ \overset{ο}{ˊ} τε α + γ = β + γ και α - γ = β - γ$
•
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο αριθμό $(\neq = 0)$ , προκύπτει και πάλι ισότητα. $Αν α = β τ \overset{ο}{ˊ} τε α \cdot γ = β \cdot γ και \frac{α}{γ} = \frac{β}{γ} (γ \neq = 0)$
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} 5 x = 30 διαιρ \overset{ω}{ˊ} ντας μ ε 5 και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο μ \overset{ε}{ˊ} λη : x = 6.$

🔑Επίλυση εξίσωσης

•
Πρακτικός κανόνας: σε μια εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημό τους.
💡 Παράδειγμα:
$3 x + 200 = x + 600 \to 3 x - x = 600 - 200 \to 2 x = 400 \to x = 200.$
▶️ Ζυγαριά: μεταφέρουμε όρους από μέλος σε μέλος αφαιρώντας ίσες ποσότητες και από τις δύο πλευρές.
x + 5 = 12
Αριστερό μέλος
x
1
1
1
1
1
=
Δεξί μέλος
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Η ζυγαριά ισορροπεί. Πάτα ▶ για να δεις πώς λύνουμε την εξίσωση.
Ταχύτητα
❓ Γιατί:Η «μεταφορά με αλλαγή προσήμου» είναι συντόμευση: στην ουσία αφαιρούμε τον ίδιο όρο και από τα δύο μέλη. Π.χ. αφαιρώντας $x$ και από τις δύο πλευρές της $3 x + 200 = x + 600$ , παίρνουμε $2 x + 200 = 600$ — δηλαδή το $x$ έφυγε από δεξιά «αλλάζοντας πρόσημο».
•
Βήματα επίλυσης: 1) απαλοιφή παρονομαστών (πολ/μός με ΕΚΠ) 2) πράξεις (επιμεριστική) 3) χωρίζω γνωστούς από αγνώστους 4) αναγωγή ομοίων 5) διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{y}{2} + y = \frac{2 y + 3}{3} + 4 \to \frac{πολ}{μ ο ˊ ς} μ ε 6 \to 3 y + 6 y = 4 y + 6 + 24 \to 9 y = 4 y + 30 \to 5 y = 30 \to y = 6.$

⚠️Ειδικές περιπτώσεις

•
Αν μετά την επίλυση καταλήξουμε σε $0 \cdot x = c$ (με $c$ ≠ 0), η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση).
💡 Παράδειγμα:
$2 (3 - x) + 4 (x - 1) = 2 x + 5 \to 0 x = 3 \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατη .$
•
Αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x = 0$ , η εξίσωση είναι ταυτότητα (επαληθεύεται για κάθε τιμή του $x$ ).
💡 Παράδειγμα:
$2 (x + 3) = 2 x + 6 \to 2 x + 6 = 2 x + 6 \to 0 x = 0 \to ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα .$
❓ Γιατί:Όταν στην τελική γραμμή «εξαφανίζεται» ο άγνωστος, η ισότητα είτε ισχύει πάντα (αν τα δύο μέλη είναι ίσα → ταυτότητα) είτε δεν ισχύει ποτέ (αν είναι διαφορετικά → αδύνατη).
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ο αριθμός

x = - 9

είναι λύση της εξίσωσης

- 2 x + 3 = 21

2Σωστό / Λάθος

Όταν μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζει το πρόσημό του.

3Σωστό / Λάθος

Η εξίσωση

0 \cdot x = 5

έχει λύση το

x = 0

4Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την εξίσωση

5 x = 30

5Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την εξίσωση

3 x + 200 = x + 600

6Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την εξίσωση

2 x + 21 = 4 + x - 5

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-1.2-e1
Λύσε την εξίσωση: $4 + 2 x = 8$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2 x = 8 - 4 = 4$
2. 2
  $x = 2$ .
2Μεσαίοgb-1.2-m2
Λύσε: $y - [- 3 y - 16] = - 3 (1 - y)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $y + 3 y + 16 = - 3 + 3 y$
2. 2
  $4 y + 16 = 3 y - 3$
3. 3
  $y = - 19$ .
3Μεσαίοgb-1.2-m1
Λύσε: $6 (1 - x) - 3 (1 - x) = 12$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $6 - 6 x - 3 + 3 x = 12$
2. 2
  $- 3 x + 3 = 12$
3. 3
  $- 3 x = 9$
4. 4
  $x = - 3$ .
4Μεσαίοgb-1.2-m3
Λύσε την εξίσωση με κλάσματα: $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2} + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{Πολ}{μ ο ˊ ς}$ ×6: $2 (2 x + 1) = 3 (x - 2) + 6$
2. 2
  $4 x + 2 = 3 x$
3. 3
  $x = - 2$ .
5Μεσαίοgb-1.2-m4
Λύσε την εξίσωση: $\frac{x}{3} - \frac{2 x - 1}{4} = \frac{2 x - 3}{5}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{Πολ}{μ ο ˊ ς}$ με $ΕΚΠ = 60$ : $20 x - 15 (2 x - 1) = 12 (2 x - 3)$
2. 2
  $20 x - 30 x + 15 = 24 x - 36$
3. 3
  $- 10 x + 15 = 24 x - 36$
4. 4
  $- 34 x = - 51$
5. 5
  $x = \frac{3}{2}$ .
6Εύκολοgb-1.2-e2
Λύσε την εξίσωση: $4 + 2 x = - 8$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2 x = - 8 - 4 = - 12$
2. 2
  $x = - 6$ .
7Εύκολοgb-1.2-e3
Λύσε: $4 x - 3 = 2 x + 7$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $4 x - 2 x = 7 + 3$
2. 2
  $2 x = 10$
3. 3
  $x = 5$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgb-ep-h1
Λύσε την εξίσωση: $\frac{3 x + 1}{3} + 5 \frac{x - 2}{12} = \frac{x - 6}{4}$ .
2Δύσκολοgb-1.2-h1
Να βρεις την τιμή του λ ώστε η εξίσωση $\frac{2 λ x - 1}{5} = \frac{4 x - 1}{3}$ να είναι αδύνατη.
3Δύσκολοgb-1.2-h2
Ο τύπος της περιμέτρου ορθογωνίου είναι $Π = 2 (x + y)$ . Λύσε ως προς $x$ και βρες το μήκος ορθογωνίου με $Π = 60 ε κ$ . και πλάτος 10 εκ.
4Μεσαίοgb-1.2-m1
Λύσε: $6 (1 - x) - 3 (1 - x) = 12$ .
5Μεσαίοgb-1.2-m4
Λύσε την εξίσωση: $\frac{x}{3} - \frac{2 x - 1}{4} = \frac{2 x - 3}{5}$ .
6Μεσαίοgb-1.2-m3
Λύσε την εξίσωση με κλάσματα: $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2} + 1$ .
7Μεσαίοgb-1.2-m2
Λύσε: $y - [- 3 y - 16] = - 3 (1 - y)$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν η εξίσωση δεν έχει κλάσματα ούτε παρενθέσεις.

Βήματα

1Μετάφερε τους αγνώστους (x) στο ένα μέλος και τους γνωστούς στο άλλο, αλλάζοντας πρόσημα.
2Κάνε αναγωγή ομοίων όρων.
3Διαίρεσε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του $x$ .

Παράδειγμα

- 9 + 7 y + y = 1 - 2 y

⇔

7 y + y + 2 y = 1 + 9

⇔

10 y = 10

⇔

y = 1

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να λύσεις: $2 x + 21 = 4 + x - 5$ .
2
Να λύσεις: $- 9 + 7 y + y = 1 - 2 y$ .
3
Να λύσεις: $4 (2 x + 1) - 6 (x - 1) = 3 (x + 2)$ .
4
Να λύσεις: $6 (ω + 2) + 3 = 3 - 2 (ω - 4)$ .
5
Να λύσεις: $3 t - 3 (t + 1) = t + 2 (t + 1) + 1$ .
6
Να λύσεις: $\frac{2 x + 3}{2} = \frac{3 x - 5}{4}$ .
7
Να λύσεις: $5 x = 30$ .
8
Να εξετάσεις αν το $x = 1$ είναι λύση της $- 3 x + 4 = 7 x - 6$ .
9
Να λύσεις: $2 (3 - x) + 4 (x - 1) = 2 x + 5$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να λύσεις την εξίσωση

\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να βρεις τον αριθμό λ ώστε η εξίσωση

2 x + λ = 5 x - 4

να έχει λύση το

x = 3

Για ποια τιμή του α η εξίσωση

α \cdot x = 6

είναι αδύνατη;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η εξίσωση

3 (x - 2) - (x - 4) = 2 (x - 1)

α) Να τη λύσεις.

β) Τι είδους εξίσωση είναι;

γ) Να την επαληθεύσεις με

x = 0

και

x = 5

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.2 — Εξισώσεις α΄ βαθμού

Ύλη: §1.2Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Το

x = 6

είναι λύση της

5 x = 30

β) Η εξίσωση

0 \cdot x = 0

είναι αδύνατη.

γ) Στην εξίσωση

3 x + 200 = x + 600

η λύση είναι

x = 200

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η εξίσωση

4 (2 x + 1) - 6 (x - 1) = 3 (x + 2)

α) Να τη λύσεις.

β) Να επαληθεύσεις τη λύση.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η εξίσωση

\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 2

α) Να απαλείψεις τους παρονομαστές.

β) Να λύσεις την εξίσωση.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις 1ου βαθμού

← Προηγούμενο

1.1 Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις

Επόμενο →

1.3 Επίλυση τύπων