Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›1.1 Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§1.1 Η έννοια της μεταβλητής & Αλγεβρικές παραστάσεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔤Αριθμητικές & αλγεβρικές παραστάσεις

•
Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς λέγεται αριθμητική παράσταση.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{2 \cdot 3 - 4 \cdot ( - 3 ) + 5}{5 \cdot 8 + 4 \cdot 3}$ είναι μια αριθμητική παράσταση.
•
Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Οι προσθετέοι μιας τέτοιας παράστασης λέγονται όροι αυτής.
💡 Παράδειγμα:
$O ι 2 \cdot x - 4 \cdot x + 5 και \frac{2 x - 4}{3 x ^{2} + 5} ε \overset{ι}{ˊ} ναι αλγεβρικ \overset{ε}{ˊ} ς παραστ \overset{α}{ˊ} σεις .$
•
Συμβολισμός: συνήθως δεν βάζουμε το σύμβολο · ανάμεσα σε αριθμό και μεταβλητή ή μεταξύ μεταβλητών. Γράφουμε $3 x y$ αντί για $3 \cdot x \cdot y$ .

🔀Επιμεριστική ιδιότητα & Αναγωγή ομοίων όρων

•
Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση γράφεται και ως: $α \cdot γ + β \cdot γ = (α + β) \cdot γ$
💡 Παράδειγμα:
$7 \cdot α + 8 \cdot α = (7 + 8) \cdot α = 15 \cdot α .$
▶️ Δύο ορθογώνια κοινού ύψους που «κολλάνε» — γεωμετρική απόδειξη της επιμεριστικής
Πάτα ▶ για τη γεωμετρική απόδειξη της επιμεριστικής ιδιότητας.
Ταχύτητα
•
Η διαδικασία απλοποίησης μιας αλγεβρικής παράστασης με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.
💡 Παράδειγμα:
$x + 4 \cdot x - 2 \cdot x = (1 + 4 - 2) \cdot x = 3 \cdot x .$
❓ Γιατί:Όροι με την ίδια μεταβλητή στον ίδιο βαθμό είναι «όμοιοι» — μπορούμε να τους «μαζέψουμε» προσθέτοντας μόνο τους συντελεστές, ακριβώς όπως 7 μήλα + 8 μήλα $= 15$ μήλα.
📎 Δες και:
•
Όταν εφαρμόζουμε την επιμεριστική σε παρένθεση με αρνητικό πρόσημο, αλλάζουν τα πρόσημα μέσα της.
💡 Παράδειγμα:
$2 (x + 3) - 4 (x - 1) - 8 = 2 x + 6 - 4 x + 4 - 8 = - 2 x + 2.$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Οι όροι

3 x

και

5 x

είναι όμοιοι.

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

3 x y = 3 \cdot x \cdot y

3Σωστό / Λάθος

Η αναγωγή ομοίων όρων στο

x + 4 x

δίνει

4 x^{2}

4Πολλαπλής επιλογής

Να απλοποιήσεις:

20 x - 4 x + x

5Πολλαπλής επιλογής

Να απλοποιήσεις:

2 (x + 3) - 4 (x - 1)

6Πολλαπλής επιλογής

Αν

A = 3 x - 2

και

x = - 2

, πόσο είναι το Α;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-1.1-e3
Απλοποίησε: $3 (2 x - 4) - 2 (x - 5)$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$6 x - 12 - 2 x + 10 = 4 x - 2$ .
2Εύκολοgb-1.1-e6
Εδώ κάθε παράσταση έχει ΔΥΟ διαφορετικές μεταβλητές. Να κάνεις αναγωγή ομοίων όρων: α) $2 x - 4 y + 3 x + 3 y$ , β) $6 ω - 2 ω + 4 α + 3 ω + α$ , γ) $x + 2 y - 3 x - 4 y$ , δ) $- 8 x + ω + 3 ω + 2 x - x$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Ομαδοποιούμε χωριστά τους όρους με κάθε μεταβλητή.
2. 2
  α) $2 x + 3 x = 5 x$ και $- 4 y + 3 y = - y$ , άρα $5 x - y$ .
3. 3
  β) $6 ω - 2 ω + 3 ω = 7 ω$ και $4 α + α = 5 α$ , άρα $7 ω + 5 α$ .
4. 4
  γ) $x - 3 x = - 2 x$ και $2 y - 4 y = - 2 y$ , άρα $- 2 x - 2 y$ .
5. 5
  δ) $- 8 x + 2 x - x = - 7 x$ και $ω + 3 ω = 4 ω$ , άρα $- 7 x + 4 ω$ .
6. 6
  Πρόσεξε ότι όροι με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ μεταβλητή δεν προστίθενται ποτέ μεταξύ τους.
3Μεσαίοgb-1.1-m2
Να εκφράσεις με αλγεβρική σχέση το εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις Β, β και ύψος υ.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$E = \frac{B + β}{2} \cdot υ$ .
4Εύκολοgb-1.1-e4
Να εκφράσεις με αλγεβρική παράσταση: α) το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 12, β) το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9, γ) την περίμετρο ενός ορθογωνίου που το μήκος του είναι 2 $m$ μεγαλύτερο από το πλάτος του.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Αν $x$ ο αριθμός, το τριπλάσιό του είναι $3 x$ και αυξημένο κατά 12 δίνει $3 x + 12$ .
2. 2
  β) Αν $x$ και $y$ οι δύο αριθμοί, το άθροισμά τους είναι $x$ + $y$ και επί 9 δίνει $9 (x + y)$ .
3. 3
  γ) Αν $x$ το πλάτος, το μήκος είναι $x + 2$ και η περίμετρος $2 (x + x + 2) = 4 x + 4$ .
5Εύκολοgb-1.1-e1
Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης $3 x^{2} - 2 x + 5$ για $x = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
$3 \cdot (2)^{2} - 2 \cdot 2 + 5 = 12 - 4 + 5 = 13$ .
6Μεσαίοgb-1.1-m5
Να απλοποιήσεις την παράσταση $A = 3 (x + 2 y) - 2 (2 x + y)$ και μετά να υπολογίσεις την τιμή της για $x = 1$ και $y = - 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κάνουμε πρώτα τις επιμεριστικές: $A = 3 x + 6 y - 4 x - 2 y$ .
2. 2
  Αναγωγή ομοίων όρων: $A = - x + 4 y$ .
3. 3
  Τώρα αντικαθιστούμε: $A = - 1 + 4 \cdot (- 2) = - 1 - 8 = - 9$ .
4. 4
  Πρόσεξε ότι απλοποιούμε ΠΡΩΤΑ και αντικαθιστούμε ΜΕΤΑ — έτσι οι πράξεις είναι πολύ λιγότερες.
7Μεσαίοgb-1.1-m1
Υπολόγισε την τιμή της $B = 2 ω^{3} y - 3 x ω - 2 \cdot 3 y - 2 x$ για $x = - 1, y = - 2, ω = 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
$B = 2 \cdot 1 \cdot (- 2) - 3 \cdot (- 1) \cdot 1 - 6 \cdot (- 2) - 2 \cdot (- 1) = - 4 + 3 + 12 + 2 = 13$ .
8Μεσαίοgb-1.1-m4
Να εκφράσεις με μια μεταβλητή: α) το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για 5 κιλά πατάτες, αν ξέρουμε την τιμή του ενός κιλού, β) την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν αυτή είναι η αναγραφόμενη τιμή συν ΦΠΑ 24%.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) Αν $x$ η τιμή του ενός κιλού, τα 5 κιλά κοστίζουν $5 x$ .
2. 2
  β) Αν $x$ η αναγραφόμενη τιμή, ο ΦΠΑ είναι το 24 τοις εκατό της, δηλαδή $\frac{24}{100} \cdot x = 0, 24 x$ .
3. 3
  Η τελική τιμή είναι $x + 0, 24 x$ και βγάζοντας κοινό παράγοντα το $x$ γίνεται $(1 + 0, 24) \cdot x$ , δηλαδή 1, $24 x$ .
9Εύκολοgb-1.1-e2
Να κάνεις αναγωγή ομοίων όρων: $5 x - 3 y + 2 x + 7 y$ .
Λύση βήμα-βήμα
$5 x + 2 x - 3 y + 7 y = 7 x + 4 y$ .
10Εύκολοgb-1.1-e5
Να κάνεις αναγωγή ομοίων όρων: α) $20 x - 4 x + x$ , β) $- 7 α - 8 α - α$ , γ) $14 y + 12 y + y$ , δ) $14 ω - 12 ω - ω + 3 ω$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Προσθέτουμε και αφαιρούμε μόνο τους συντελεστές των ομοίων όρων.
2. 2
  α) $20 x - 4 x + x = 17 x$ .
3. 3
  β) $- 7 α - 8 α - α = - 16 α$ .
4. 4
  γ) $14 y + 12 y + y = 27 y$ .
5. 5
  δ) $14 ω - 12 ω - ω + 3 ω = 4 ω$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-1.1-m3
Ανάπτυξε και κάνε αναγωγή ομοίων όρων: $(x + 3) (x - 2)$ .
2Μεσαίοgb-1.1-m2
Να εκφράσεις με αλγεβρική σχέση το εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις Β, β και ύψος υ.
3Μεσαίοgb-1.1-m1
Υπολόγισε την τιμή της $B = 2 ω^{3} y - 3 x ω - 2 \cdot 3 y - 2 x$ για $x = - 1, y = - 2, ω = 1$ .
4Μεσαίοgb-1.1-m4
Να εκφράσεις με μια μεταβλητή: α) το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για 5 κιλά πατάτες, αν ξέρουμε την τιμή του ενός κιλού, β) την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν αυτή είναι η αναγραφόμενη τιμή συν ΦΠΑ 24%.
5Μεσαίοgb-1.1-m5
Να απλοποιήσεις την παράσταση $A = 3 (x + 2 y) - 2 (2 x + y)$ και μετά να υπολογίσεις την τιμή της για $x = 1$ και $y = - 2$ .
6Δύσκολοgb-1.1-h1
Δίνεται η παράσταση $A = 2 (α - 3 β) + 3 (α + 2 β)$ . α) Να αποδείξεις ότι η τιμή της ΔΕΝ εξαρτάται από το β. β) Να υπολογίσεις την τιμή της για $α = 0, 02$ και $β = 2005$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται «να απλοποιήσεις την παράσταση».

Βήματα

1Ομαδοποίησε τους όμοιους όρους (ίδιο μέρος μεταβλητής).
2Πρόσθεσε ή αφαίρεσε ΜΟΝΟ τους συντελεστές.
3Η μεταβλητή μένει ίδια.

Παράδειγμα

14 y + 12 y + y = (14 + 12 + 1) y = 27 y

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να απλοποιήσεις: $- 7 α - 8 α - α$ .
2
Να απλοποιήσεις: $2 x - 4 y + 3 x + 3 y$ .
3
Να απλοποιήσεις: $- 6 x + 3 + 4 x - 2$ .
4
Να απλοποιήσεις: $6 ω - 2 ω + 4 α + 3 ω + α$ .
5
Να κάνεις τις πράξεις: $2 (x + 3) - 4 (x - 1) - 8$ .
6
Να γράψεις ως παράσταση: το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9.
7
Να γράψεις ως παράσταση την περίμετρο ορθογωνίου με πλάτος $x$ και μήκος 2 $m$ μεγαλύτερο.
8
Να απλοποιήσεις και να βρεις την τιμή: $A = 5 (2 α - 3 β) + 3 (4 β - α)$ για $α = - 3, β = 5$ .
9
Να απλοποιήσεις: $x + 2 y - 3 x - 4 y$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να απλοποιήσεις την παράσταση

3 (2 x - 1) - 2 (x - 4) + 5

και να βρεις για ποια τιμή του

x

γίνεται ίση με 0.

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Δίνεται

A = 2 (α - 3 β) + 3 (α + 2 β)

. Να την απλοποιήσεις και να βρεις την τιμή της για

α = 0, 02

και

β = 2005

Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι

4 x + 6

και η βάση του είναι

2 x

. Να βρεις την παράσταση που δίνει το μήκος καθεμιάς από τις δύο ίσες πλευρές.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται οι παραστάσεις

A = 4 (x - 2) - 3 (x - 5)

και

B = 2 (x + 1) - (x - 3)

α) Να απλοποιήσεις την Α.

β) Να απλοποιήσεις την Β.

γ) Να βρεις την παράσταση Α − Β.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.1 — Μεταβλητή & Αλγεβρικές παραστάσεις

Ύλη: §1.1Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Οι όροι

5 x

και

5 x^{2}

είναι όμοιοι.

β) Ισχύει

7 α + 8 α = 15 α

γ) Το αποτέλεσμα του

- 2 (x - 3)

είναι

- 2 x - 6

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A = 3 (2 x - 1) - 2 (x - 4)

α) Να την απλοποιήσεις.

β) Να βρεις την τιμή της για

x = - 1

ΘΕΜΑ Γ

Ένα κιλό μήλα κοστίζει

x

ευρώ και ένα κιλό πορτοκάλια 1 ευρώ λιγότερο.

α) Να γράψεις παράσταση για το κόστος 3 κιλών μήλα και 2 κιλών πορτοκάλια.

β) Πόσο κοστίζουν συνολικά αν

x = 2

€;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

Επόμενο →

1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού