Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα›Γ.2.7 Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα

§Γ.2.7 Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

✚Συνιστώσες διανύσματος

•
Κάθε διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (οριζόντια και κατακόρυφη) που το συνθέτουν.
•
Αν $F$ είναι το διάνυσμα και θ η γωνία που σχηματίζει με την οριζόντια, τότε: $∣ F_{1} ∣ = ∣ F ∣ \cdot συν θ \cdot ∣ F_{2} ∣ = ∣ F ∣ \cdot ημ θ$
💡 Παράδειγμα:
Δύναμη $F = 6000 N$ με γωνία 30° στην οριζόντια: οριζόντια συνιστώσα $= 6000 \cdot συν 30$ ° $= 30003 \approx 5196 N$ , κατακόρυφη $= 6000 \cdot η μ 30$ ° $= 3000 N$ .
•
Παράδειγμα στη Φυσική: το βάρος ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο αναλύεται σε μια συνιστώσα κάθετη προς το επίπεδο (που εξουδετερώνεται από το έδαφος) και σε μια παράλληλη (που κινεί το σώμα).

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-g2.7-e1
Ένας σκιέρ κατεβαίνει εξέδρα που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 30°. Αν το βάρος του έχει μέτρο 800 $N$ , ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που τον μετακινεί κατά μήκος της εξέδρας; Αγνόησε τις τριβές.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Αναλύουμε το βάρος σε δύο κάθετες συνιστώσες: μία κατά μήκος της εξέδρας και μία κάθετη σε αυτήν.
2. 2
  Γιατί ημίτονο και όχι συνημίτονο; Επειδή η συνιστώσα κατά μήκος της εξέδρας είναι η ΑΠΕΝΑΝΤΙ πλευρά της γωνίας των 30° στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν οι δύο συνιστώσες με το βάρος, και η απέναντι πλευρά συνδέεται με το ημίτονο.
3. 3
  Άρα η συνιστώσα κατά μήκος της εξέδρας είναι $B \cdot η μ 30$ °. Επειδή ημ30° $= \frac{1}{2}$ , το μέτρο της είναι $800 \cdot \frac{1}{2} = 400 N$ .
2Μεσαίοgb-g2.7-m2
Σε ένα υπόγειο τελεφερίκ οι ράγες σχηματίζουν με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 60°. Το βάρος του βαγονιού μαζί με τους επιβάτες είναι 30.000 $N$ και το βαγόνι σύρεται προς τα πάνω με συρματόσχοινο. Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο της δύναμης του συρματόσχοινου, ώστε το βαγόνι να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα; Αγνόησε τις τριβές. Δίνεται ημ60° $\approx 0, 866$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα, το συρματόσχοινο πρέπει να ασκεί δύναμη ίση με τη συνιστώσα του βάρους κατά μήκος των ραγών.
2. 2
  Αυτή είναι $B \cdot η μ 60$ ° $\approx 30.000 \cdot 0, 866 \approx 25.980 N$ .
3Μεσαίοgb-g2.7-m1
Ένα παιδί κάνει τσουλήθρα που σχηματίζει με το οριζόντιο έδαφος γωνία 45°. Το βάρος του είναι 270 $N$ . Να αναλύσεις το βάρος σε δύο κάθετες συνιστώσες, μία κατά μήκος της τσουλήθρας και μία κάθετη σε αυτήν, και να βρεις το μέτρο καθεμιάς. Ποια από τις δύο το κάνει να κατεβαίνει; Αγνόησε τις τριβές. Δίνονται ημ45° $\approx 0, 707$ και συν45° $\approx 0, 707$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η συνιστώσα ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ της τσουλήθρας είναι $B \cdot η μ 45$ ° $\approx 270 \cdot 0, 707 \approx 191 N$ και η ΚΑΘΕΤΗ σε αυτήν είναι $B \cdot συν 45$ ° $\approx 270 \cdot 0, 707 \approx 191 N$ .
2. 2
  Εδώ βγαίνουν ίσες, γιατί η γωνία είναι ακριβώς 45°. Το παιδί το κατεβάζει η ΠΡΩΤΗ, αυτή που είναι κατά μήκος της τσουλήθρας.
3. 3
  Η δεύτερη δεν το μετακινεί: την εξουδετερώνει η αντίδραση της επιφάνειας.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g2.7-m2
Σε ένα υπόγειο τελεφερίκ οι ράγες σχηματίζουν με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 60°. Το βάρος του βαγονιού μαζί με τους επιβάτες είναι 30.000 $N$ και το βαγόνι σύρεται προς τα πάνω με συρματόσχοινο. Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο της δύναμης του συρματόσχοινου, ώστε το βαγόνι να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα; Αγνόησε τις τριβές. Δίνεται ημ60° $\approx 0, 866$ .
2Μεσαίοgb-g2.7-m1
Ένα παιδί κάνει τσουλήθρα που σχηματίζει με το οριζόντιο έδαφος γωνία 45°. Το βάρος του είναι 270 $N$ . Να αναλύσεις το βάρος σε δύο κάθετες συνιστώσες, μία κατά μήκος της τσουλήθρας και μία κάθετη σε αυτήν, και να βρεις το μέτρο καθεμιάς. Ποια από τις δύο το κάνει να κατεβαίνει; Αγνόησε τις τριβές. Δίνονται ημ45° $\approx 0, 707$ και συν45° $\approx 0, 707$ .
3Δύσκολοgb-g2.7-h1
Ένας κυνηγός στηρίζει δύο σανίδες ίσου μήκους στο έδαφος, έτσι ώστε να σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, δηλαδή η γωνία στην κορυφή τους να είναι ορθή. Στην κορυφή τοποθετεί πέτρα βάρους 200 $N$ . Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που δέχεται κάθε σανίδα; Δίνεται συν45° $\approx 0, 707$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

Γ.2.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

Επόμενο →

Γ.3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες