Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα›Γ.2.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα

§Γ.2.6 Άθροισμα & διαφορά διανυσμάτων

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

➕Πρόσθεση διανυσμάτων

•
Μέθοδος του τριγώνου: για να προσθέσουμε δύο διανύσματα α και β, τοποθετούμε την αρχή του β στο πέρας του α. Το άθροισμα είναι το διάνυσμα από την αρχή του α στο πέρας του β.
•
Μέθοδος του παραλληλογράμμου: τοποθετούμε τα α και β με κοινή αρχή. Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο. Η διαγώνιος με κοινή αρχή είναι το άθροισμα α + β.

➖Διαφορά διανυσμάτων

•
Η διαφορά α − β ορίζεται ως άθροισμα του α με το αντίθετο του β: $α - β = α + (- β)$
•
Για διανύσματα ΟΑ και ΟΒ με κοινή αρχή Ο, η διαφορά $OA - OB$ ισούται με ΒΑ.
❓ Γιατί:Επειδή $OA - OB = OA + BO$ . Τα ΒΟ και ΟΑ είναι διαδοχικά (η αρχή του δεύτερου = πέρας του πρώτου), οπότε το άθροισμά τους είναι ΒΑ.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-g2.6-e1
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με τις κορυφές γραμμένες με τη σειρά. Πόσο είναι το άθροισμα $AB + AΔ$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Τα δύο διανύσματα ξεκινούν από την ίδια κορυφή Α και είναι οι δύο πλευρές του παραλληλογράμμου.
2. 2
  Σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, το άθροισμά τους είναι η διαγώνιος που ξεκινά από την ίδια κορυφή: $AB + AΔ = AΓ$ .
2Μεσαίοgb-g2.6-m2
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ ένα σημείο της πλευράς ΒΓ. Να υπολογίσεις τα αθροίσματα: α) $ΔΓ + MΔ + AM$ , β) $ΓM + MB + BΓ + BΔ$ , γ) $BΓ + ΔM + AB + MA$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε κάθε άθροισμα αναδιατάσσουμε τους όρους ώστε να σχηματιστεί αλυσίδα.
2. 2
  α) $AM + MΔ + ΔΓ = AΓ$ .
3. 3
  β) Τα τρία πρώτα δίνουν $ΓM + MB + BΓ = ΓΓ$ , δηλαδή το μηδενικό διάνυσμα, οπότε μένει το ΒΔ.
4. 4
  γ) Ομαδοποιούμε $AB + BΓ = AΓ$ και $ΔM + MA = ΔA$ .
5. 5
  Άρα το άθροισμα είναι $ΔA + AΓ = ΔΓ$ .
3Μεσαίοgb-g2.6-m1
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να υπολογίσεις τα αθροίσματα: α) $AB + BΓ + ΓΔ$ , β) $AB + BΓ + ΓΔ + ΔA$ , γ) $AB - ΓB - AΔ$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Χρησιμοποιούμε τον κανόνα ότι διαδοχικά διανύσματα προστίθενται «αλυσιδωτά»: το τέλος του ενός είναι η αρχή του επόμενου.
2. 2
  α) $AB + BΓ + ΓΔ = AΔ$ .
3. 3
  β) Συνεχίζοντας την αλυσίδα φτάνουμε πάλι στο Α: $AΔ + ΔA = AA$ , δηλαδή το μηδενικό διάνυσμα.
4. 4
  γ) Θυμόμαστε ότι αφαιρώ ένα διάνυσμα σημαίνει προσθέτω το αντίθετό του, και το αντίθετο του ΓΒ είναι το ΒΓ.
5. 5
  Άρα $AB - ΓB = AB + BΓ = AΓ$ .
6. 6
  Άρα η παράσταση γίνεται $AΓ - AΔ$ .
7. 7
  Η διαφορά αυτή είναι το διάνυσμα ΔΓ.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g2.6-m2
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ ένα σημείο της πλευράς ΒΓ. Να υπολογίσεις τα αθροίσματα: α) $ΔΓ + MΔ + AM$ , β) $ΓM + MB + BΓ + BΔ$ , γ) $BΓ + ΔM + AB + MA$ .
2Μεσαίοgb-g2.6-m1
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να υπολογίσεις τα αθροίσματα: α) $AB + BΓ + ΓΔ$ , β) $AB + BΓ + ΓΔ + ΔA$ , γ) $AB - ΓB - AΔ$ .
3Δύσκολοgb-g2.6-h1
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με τις κορυφές γραμμένες με τη σειρά, και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συγκρίνεις τις διαφορές: α) $BO - BA$ , β) $BΓ - BO$ , γ) $ΔO - ΔA$ , δ) $ΔΓ - ΔO$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

Γ.2.5 Η έννοια του διανύσματος

Επόμενο →

Γ.2.7 Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες