Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα›Γ.2.5 Η έννοια του διανύσματος

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα

§Γ.2.5 Η έννοια του διανύσματος

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

➡️Διάνυσμα

•
Διάνυσμα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με συγκεκριμένη κατεύθυνση. Συμβολίζεται με ΑΒ (αρχή Α, πέρας Β) ή με μικρό γράμμα με βελάκι.
•
Κάθε διάνυσμα έχει τρία βασικά στοιχεία: διεύθυνση (ευθεία στην οποία ανήκει), φορά (από Α προς Β ή αντίστροφα), μέτρο (μήκος του τμήματος, πάντα $\geq 0$ ).
•
Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση του διανύσματος.
💡 Παράδειγμα:
Στη Φυσική: ταχύτητα, δύναμη, επιτάχυνση είναι διανυσματικά μεγέθη.Η μάζα και η ηλικία είναι βαθμωτά (μόνο αριθμοί).

🟰Ίσα & αντίθετα διανύσματα

•
Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα.
💡 Παράδειγμα:
Δύο άτομα που σπρώχνουν παράλληλα και προς την ίδια κατεύθυνση με την ίδια δύναμη.
•
Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίσα μέτρα.
💡 Παράδειγμα:
Δύο ομάδες που τραβούν ίδιο σχοινί προς αντίθετες κατευθύνσεις με ίδια ένταση.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ένα διάνυσμα έχει μέτρο (μήκος) και κατεύθυνση.

2Πολλαπλής επιλογής

Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-g2.5-e1
Ποια από τα παρακάτω μεγέθη χρειάζονται διάνυσμα για να παρασταθούν και ποια όχι; α) βάρος, β) ύψος, γ) μάζα, δ) ταχύτητα. Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Χρειάζονται διάνυσμα το βάρος και η ταχύτητα, γιατί εκτός από μέγεθος έχουν και κατεύθυνση: το βάρος τραβάει πάντα προς το κέντρο της Γης και η ταχύτητα δείχνει προς τα πού κινείται το σώμα.
2. 2
  Δεν χρειάζονται διάνυσμα το ύψος και η μάζα, γιατί περιγράφονται πλήρως με έναν αριθμό και τη μονάδα του.
3. 3
  Δεν έχει νόημα να πούμε ότι μια μάζα είναι 5 κιλά «προς τα δεξιά».
2Μεσαίοgb-g2.5-m1
Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ, με τις κορυφές γραμμένες με τη σειρά, και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Πρόσεξε ποιες προτάσεις μιλούν για ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και ποιες για ΜΕΤΡΑ. Ποιες είναι σωστές; α) το διάνυσμα ΑΔ ισούται με το διάνυσμα ΒΓ, β) το μέτρο του ΑΔ ισούται με το μέτρο του ΑΒ, γ) το μέτρο του ΟΑ ισούται με το μέτρο του ΟΒ, δ) το διάνυσμα ΟΔ ισούται με το διάνυσμα ΟΒ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Σωστή: ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι ΑΔ και ΒΓ είναι απέναντι πλευρές, παράλληλες, ίσες και με την ίδια φορά.
2. 2
  β) Σωστή: όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες.
3. 3
  γ) Λανθασμένη: οι ΟΑ και ΟΒ είναι μισές διαγώνιοι, και οι διαγώνιοι του ρόμβου δεν είναι γενικά ίσες.
4. 4
  Γίνονται ίσες μόνο όταν ο ρόμβος είναι τετράγωνο.
5. 5
  δ) Λανθασμένη: το Ο είναι το μέσο της ΔΒ, οπότε ως ΜΗΚΗ τα ΟΔ και ΟΒ είναι ίσα, αλλά ως ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ έχουν αντίθετες φορές.
6. 6
  Είναι αντίθετα, όχι ίσα.
3Εύκολοgb-g2.5-e2
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με τις κορυφές γραμμένες με τη σειρά, και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Πρόσεξε ότι συγκρίνουμε ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, όχι μήκη. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές; α) το διάνυσμα ΑΒ ισούται με το διάνυσμα ΔΓ, β) το διάνυσμα ΑΓ ισούται με το διάνυσμα ΒΔ, γ) το διάνυσμα ΟΑ ισούται με το διάνυσμα ΟΓ, δ) το διάνυσμα ΟΑ ισούται με το διάνυσμα ΟΒ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δύο διανύσματα είναι ίσα μόνο όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα.
2. 2
  α) Σωστή: οι ΑΒ και ΔΓ είναι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου, άρα παράλληλες και ίσες, και οι φορές τους συμπίπτουν.
3. 3
  β) Λανθασμένη: οι ΑΓ και ΒΔ είναι οι δύο διαγώνιοι και έχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ, οπότε δεν μπορεί να είναι ίσα διανύσματα.
4. 4
  Πρόσεξε ότι δεν αρκεί να έχουν ίσα μέτρα: στο ορθογώνιο οι διαγώνιοι είναι ίσες σε μήκος και όμως τα διανύσματα ΑΓ και ΒΔ δεν είναι ίσα.
5. 5
  γ) Λανθασμένη, και εδώ είναι η παγίδα: ως ΜΗΚΗ τα ΟΑ και ΟΓ είναι ίσα, γιατί το Ο είναι το μέσο της ΑΓ.
6. 6
  Ως ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ όμως έχουν ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ φορές, οπότε είναι αντίθετα και όχι ίσα.
7. 7
  δ) Λανθασμένη: έχουν διαφορετική διεύθυνση.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g2.5-m1
Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ, με τις κορυφές γραμμένες με τη σειρά, και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Πρόσεξε ποιες προτάσεις μιλούν για ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και ποιες για ΜΕΤΡΑ. Ποιες είναι σωστές; α) το διάνυσμα ΑΔ ισούται με το διάνυσμα ΒΓ, β) το μέτρο του ΑΔ ισούται με το μέτρο του ΑΒ, γ) το μέτρο του ΟΑ ισούται με το μέτρο του ΟΒ, δ) το διάνυσμα ΟΔ ισούται με το διάνυσμα ΟΒ.
2Δύσκολοgb-g2.5-h1
Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ, με τις κορυφές γραμμένες με τη σειρά. Από τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΕΔ, ΕΖ και ΑΖ, ποια είναι ίσα μεταξύ τους και ποια αντίθετα; Κάνε πρώτα ένα σχήμα.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔺 Quiz · Τριγωνομετρία, Κύκλος & Στερεά

← Προηγούμενο

Γ.2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°

Επόμενο →

Γ.2.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων