Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα›Γ.2.3 Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα

§Γ.2.3 Πώς μεταβάλλονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📊Μονοτονία

•
Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται: $ημ ω ↗, συν ω ↘, εφ ω ↗$
💡 Παράδειγμα:
$η μ 3 0^{\circ} = 0, 5 \to η μ 6 0^{\circ} \approx 0, 87 (αυξ \overset{α}{ˊ} νεται) .$
$συν 3 0^{\circ} \approx 0, 87 \to συν 6 0^{\circ} = 0, 5 (μει \overset{ω}{ˊ} νεται) .$
•
Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσο ημίτονο (ή ίσο συνημίτονο, ή ίση εφαπτομένη), τότε οι γωνίες είναι ίσες.
❓ Γιατί:Επειδή κάθε ένας από αυτούς τους τριγωνομετρικούς αριθμούς είναι αυστηρά μονότονη συνάρτηση στο διάστημα (0°, 90°), δεν παίρνει την ίδια τιμή σε δύο διαφορετικές γωνίες.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, το συνημίτονό της μειώνεται.

2Πολλαπλής επιλογής

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, ποιο μέγεθος μεγαλώνει;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-g2.3-e2
Χωρίς να χρησιμοποιήσεις υπολογιστή, να βάλεις σε αύξουσα σειρά: α) τους αριθμούς ημ20°, ημ50°, ημ80°, β) τους αριθμούς συν20°, συν50°, συν80°.
Λύση βήμα-βήμα
α) Το ημίτονο αυξάνεται καθώς μεγαλώνει η γωνία από 0° ως 90°, οπότε η σειρά είναι ημ20° $< η μ 50$ ° $< η μ 80$ °. β) Το συνημίτονο μειώνεται καθώς μεγαλώνει η γωνία, οπότε η σειρά αντιστρέφεται: συν80° $< συν 50$ ° $< συν 20$ °.
2Εύκολοgb-g2.3-e1
Να χαρακτηρίσεις κάθε πρόταση ως σωστή ή λανθασμένη, χωρίς να χρησιμοποιήσεις υπολογιστή: α) ημ13° $< η μ 15$ °, β) συν13° $< συν 15$ °, γ) συν57° $< συν 27$ °, δ) ημ57° $< η μ 27$ °, ε) ημ32° $< η μ 23$ °, στ) συν32° $< συν 23$ °.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Θυμόμαστε ότι από 0° ως 90° το ημίτονο ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ και το συνημίτονο ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ, καθώς μεγαλώνει η γωνία.
2. 2
  α) Σωστή, γιατί $13 < 15$ και το ημίτονο αυξάνεται.
3. 3
  β) Λανθασμένη, γιατί το συνημίτονο μειώνεται.
4. 4
  γ) Σωστή, γιατί $57 > 27$ και το συνημίτονο μειώνεται.
5. 5
  δ) Λανθασμένη, γιατί $57 > 27$ και το ημίτονο αυξάνεται.
6. 6
  ε) Λανθασμένη, γιατί $32 > 23$ και το ημίτονο αυξάνεται.
7. 7
  στ) Σωστή, γιατί $32 > 23$ και το συνημίτονο μειώνεται.
3Μεσαίοgb-g2.3-m1
Σε ένα ιστιοπλοϊκό σκάφος το ύψος του καταρτιού από το κατάστρωμα μέχρι το σημείο Α είναι 8 $m$ . Δύο συρματόσχοινα ξεκινούν από το Α και φτάνουν στο κατάστρωμα σχηματίζοντας με το επίπεδο της θάλασσας γωνίες 55° και 70°. Να βρεις το μήκος κάθε συρματόσχοινου. Δίνονται ημ55° $\approx 0, 82$ και ημ70° $\approx 0, 94$ .
Λύση βήμα-βήμα
Κάθε συρματόσχοινο είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου που έχει απέναντι κάθετη πλευρά το ύψος 8 $m$ . Για το πρώτο: $L \cdot η μ 55$ ° $= 8$ , δηλαδή $L \cdot 0, 82 \approx 8$ , οπότε $L \approx 9, 8 m$ . Για το δεύτερο: $L \cdot η μ 70$ ° $= 8$ , δηλαδή $L \cdot 0, 94 \approx 8$ , οπότε $L \approx 8, 5 m$ . Το δεύτερο είναι κοντύτερο, γιατί σχηματίζει μεγαλύτερη γωνία και πέφτει πιο απότομα.
4Μεσαίοgb-g2.3-m2
Ένας μηχανικός κατασκευάζει σπίτι με υπόγειο γκαράζ. Η ράμπα ξεκινά από σημείο Α του εδάφους και κατεβαίνει ως το σημείο Γ, στο δάπεδο του γκαράζ. Το Β είναι το σημείο του εδάφους ακριβώς πάνω από το Γ, οπότε η γωνία Β είναι ορθή και το βάθος του γκαράζ είναι $BΓ = 2, 25 m$ . Η ράμπα ΑΓ σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 13°. Να βρεις το μήκος ΑΓ της ράμπας και την οριζόντια απόσταση ΑΒ. Δίνονται ημ13° $\approx 0, 225$ και εφ13° $\approx 0, 231$ .
Λύση βήμα-βήμα
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Β, με απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας των 13° τη ΒΓ, με μήκος 2,25 $m$ . Για τη ράμπα, που είναι η υποτείνουσα: $AΓ \cdot η μ 13$ ° $= 2, 25$ , δηλαδή $AΓ \cdot 0, 225 \approx 2, 25$ , οπότε $AΓ \approx 10 m$ . Για την οριζόντια απόσταση: $AB \cdot εφ 13$ ° $= 2, 25$ , δηλαδή $AB \cdot 0, 231 \approx 2, 25$ , οπότε $AB \approx 9, 7 m$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g2.3-m1
Σε ένα ιστιοπλοϊκό σκάφος το ύψος του καταρτιού από το κατάστρωμα μέχρι το σημείο Α είναι 8 $m$ . Δύο συρματόσχοινα ξεκινούν από το Α και φτάνουν στο κατάστρωμα σχηματίζοντας με το επίπεδο της θάλασσας γωνίες 55° και 70°. Να βρεις το μήκος κάθε συρματόσχοινου. Δίνονται ημ55° $\approx 0, 82$ και ημ70° $\approx 0, 94$ .
2Μεσαίοgb-g2.3-m2
Ένας μηχανικός κατασκευάζει σπίτι με υπόγειο γκαράζ. Η ράμπα ξεκινά από σημείο Α του εδάφους και κατεβαίνει ως το σημείο Γ, στο δάπεδο του γκαράζ. Το Β είναι το σημείο του εδάφους ακριβώς πάνω από το Γ, οπότε η γωνία Β είναι ορθή και το βάθος του γκαράζ είναι $BΓ = 2, 25 m$ . Η ράμπα ΑΓ σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 13°. Να βρεις το μήκος ΑΓ της ράμπας και την οριζόντια απόσταση ΑΒ. Δίνονται ημ13° $\approx 0, 225$ και εφ13° $\approx 0, 231$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔺 Quiz · Τριγωνομετρία, Κύκλος & Στερεά

← Προηγούμενο

Γ.2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Επόμενο →

Γ.2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°