Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα›Γ.2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία - Διανύσματα

§Γ.2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📐Ορισμός εφαπτομένης

•
Σε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ω, ο λόγος $\frac{απ ε ˊ ναντι κ α ˊ θετη πλευρ α ˊ}{προσκε ι ˊ μενη κ α ˊ θετη πλευρ α ˊ}$ είναι σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω. $εφ ω = \frac{απ ε ˊ ναντι}{προσκε ι ˊ μενη}$
💡 Παράδειγμα:
$Σ ε τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο μ ε κ \overset{α}{ˊ} θετες πλευρ \overset{ε}{ˊ} ς 12 (απ \overset{ε}{ˊ} ναντι της B) και 5 (προσκε \overset{ι}{ˊ} μενη της B) : εφ B = \frac{12}{5} .$
▶️ Slider γωνίας ω σε ορθογώνιο τρίγωνο · live ημω, συνω, εφω.
ημω = α/γ0.574
συνω = β/γ0.819
εφω = α/β0.700
ω = 35°
❓ Γιατί:Ο λόγος αυτός είναι σταθερός γιατί όλα τα τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία ω είναι όμοια — έχουν ανάλογες πλευρές.
•
Η εφαπτομένη μιας γωνίας εκφράζει την κλίση ως προς την οριζόντια διεύθυνση (π.χ. κλίση δρόμου, κλίση ευθείας στο σύστημα αξόνων).
💡 Παράδειγμα:
$Δρ \overset{ο}{ˊ} μος μ ε κλ \overset{ι}{ˊ} ση 10$

📈Σύνδεση με κλίση ευθείας

•
Στην ευθεία $y = α \cdot x$ , ο συντελεστής α είναι η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα $x$ . $α = εφ ω$
💡 Παράδειγμα:
$Ευθε \overset{ι}{ˊ} α y = 2 x \to κλ \overset{ι}{ˊ} ση 2 \to εφ ω = 2 (γων \overset{ι}{ˊ} α ω \approx 6 3^{\circ}) .$
❓ Γιατί:Στο ορθογώνιο τρίγωνο που ορίζεται από ένα σημείο Α(x, $y$ ) στην ευθεία, η αρχή Ο και η προβολή στον άξονα $x$ , ισχύει: εφω $= \frac{y}{x}$ . Αλλά $\frac{y}{x} = α$ (κλίση). Άρα $α = εφ$ ω.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ω είναι ο λόγος (απέναντι κάθετη) προς (προσκείμενη κάθετη).

2Πολλαπλής επιλογής

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η απέναντι κάθετη της γωνίας ω είναι 12 και η προσκείμενη 5. Πόσο είναι η εφω;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-g2.1-m2
Από την κορυφή ενός φάρου ύψους 40 $m$ ο φαροφύλακας βλέπει δύο πλοία στην ίδια κατεύθυνση. Το πρώτο το βλέπει με γωνία 34° κάτω από την οριζόντια και το δεύτερο με γωνία 23°. Να υπολογίσεις την απόσταση των δύο πλοίων. Κάνε πρώτα ένα σχήμα. Δίνονται εφ34° $\approx 0, 675$ και εφ23° $\approx 0, 424$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η οριζόντια από την κορυφή του φάρου και η επιφάνεια της θάλασσας είναι παράλληλες.
2. 2
  Η οπτική ακτίνα τις τέμνει, οπότε η γωνία των 34° κάτω από την οριζόντια είναι ίση με τη γωνία ΣΤΟ ΠΛΟΙΟ, ανάμεσα στην οπτική ακτίνα και τη θάλασσα.
3. 3
  Είναι εντός εναλλάξ γωνίες.
4. 4
  🔴 ΠΡΟΣΟΧΗ: μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία των 34° βρίσκεται στο πλοίο, ΟΧΙ στην κορυφή του φάρου.
5. 5
  Στην κορυφή η γωνία είναι 90° − 34° $= 56$ °. Ως προς τη γωνία του πλοίου, το ύψος 40 $m$ είναι η ΑΠΕΝΑΝΤΙ κάθετη πλευρά και η απόσταση η ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ.
6. 6
  Για το πρώτο πλοίο, με απόσταση $x$ : $x \cdot εφ 34$ ° $= 40$ , δηλαδή $x \cdot 0, 675 \approx 40$ , οπότε $x \approx 59, 3 m$ . Για το δεύτερο, με απόσταση $y$ : $y \cdot εφ 23$ ° $= 40$ , δηλαδή $y \cdot 0, 424 \approx 40$ , οπότε $y \approx 94, 3 m$ . Το δεύτερο πλοίο είναι πιο μακριά, γιατί η γωνία με την οποία το βλέπουμε είναι μικρότερη.
7. 7
  Η απόσταση των δύο πλοίων είναι $94, 3 - 59, 3 = 35 m$ περίπου.
2Εύκολοgb-g2.1-e1
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία στο Β, η πλευρά ΑΒ έχει μήκος 12 cm και η γωνία Α είναι 30°. Να υπολογίσεις το μήκος της πλευράς ΒΓ. Δίνεται εφ30° $\approx 0, 577$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η ΒΓ είναι απέναντι από τη γωνία Α και η ΑΒ προσκείμενη σε αυτήν, οπότε εφΑ $= \frac{BΓ}{AB}$ .
2. 2
  Άρα $BΓ = AB \cdot εφ 30$ ° $\approx 12 \cdot 0, 577 \approx 6, 9 cm$ .
3Εύκολοgb-g2.1-e2
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΛΜΚ με ορθή γωνία στο Μ, η γωνία Λ είναι 45° και η πλευρά ΜΚ έχει μήκος 10 cm. Να υπολογίσεις το μήκος της ΛΜ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δεν χρειάζεται πίνακας τιμών.
2. 2
  Η άλλη οξεία γωνία είναι 90° − 45° $= 45$ °, άρα το τρίγωνο έχει δύο ίσες γωνίες και είναι ισοσκελές: $ΛM = MK = 10 cm$ . Παρατήρησε τι μας λέει αυτό: επειδή εφΛ $= \frac{MK}{ΛM}$ και οι δύο κάθετες πλευρές είναι ίσες, βρήκαμε μόνοι μας ότι εφ45° $= 1$ .
4Μεσαίοgb-g2.1-m1
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία είναι 30° και η απέναντι κάθετη πλευρά της έχει μήκος 4 cm. Ποια στοιχεία του τριγώνου μπορείς να υπολογίσεις; Δίνεται εφ30° $\approx 0, 577$ .
Λύση βήμα-βήμα
Η άλλη οξεία γωνία είναι 90° − 30° $= 60$ °, γιατί οι δύο οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα 90°. Για την προσκείμενη κάθετη πλευρά $x$ ισχύει $x \cdot εφ 30$ ° $= 4$ , δηλαδή $x \cdot 0, 577 \approx 4$ , οπότε $x \approx 6, 9 cm$ . Τέλος, από το Πυθαγόρειο θεώρημα η υποτείνουσα υ έχει $υ^{2} \approx 4^{2} + 6, 9^{2} = 16 + 47, 6 = 63, 6$ , άρα $υ \approx 8 cm$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g2.1-m2
Από την κορυφή ενός φάρου ύψους 40 $m$ ο φαροφύλακας βλέπει δύο πλοία στην ίδια κατεύθυνση. Το πρώτο το βλέπει με γωνία 34° κάτω από την οριζόντια και το δεύτερο με γωνία 23°. Να υπολογίσεις την απόσταση των δύο πλοίων. Κάνε πρώτα ένα σχήμα. Δίνονται εφ34° $\approx 0, 675$ και εφ23° $\approx 0, 424$ .
2Μεσαίοgb-g2.1-m1
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία είναι 30° και η απέναντι κάθετη πλευρά της έχει μήκος 4 cm. Ποια στοιχεία του τριγώνου μπορείς να υπολογίσεις; Δίνεται εφ30° $\approx 0, 577$ .
3Δύσκολοgb-g2.1-h1
Ένας τουρίστας στέκεται απέναντι από έναν πύργο. Το μάτι του βρίσκεται σε ύψος 3 $m$ από το έδαφος. Βλέπει την κορυφή του πύργου με γωνία 40° πάνω από την οριζόντια και τη βάση του με γωνία 18° κάτω από την οριζόντια. Να υπολογίσεις το ύψος $h$ του πύργου. Κάνε πρώτα ένα σχήμα. Δίνονται εφ18° $\approx 0, 325$ και εφ40° $\approx 0, 839$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔺 Quiz · Τριγωνομετρία, Κύκλος & Στερεά

← Προηγούμενο

Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

Επόμενο →

Γ.2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας