Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα›Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα

§Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔺Πυθαγόρειο θεώρημα

•
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. $α^{2} = β^{2} + γ^{2}$
💡 Παράδειγμα:
Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4: υποτείνουσ $α^{2}$ $= 9 + 16 = 25$ → υποτείνουσα $= 5$ .
▶️ Οπτική απόδειξη Πυθαγορείου 3-4-5: τρία τετράγωνα στις πλευρές → 9+16=25.
α²=9 + β²=16 = γ²=25 → γ = √25 = 5
Σύρε τις λαβές στις κάθετες (α, β) — το εμβαδόν στην υποτείνουσα ισούται πάντα με το άθροισμα των άλλων δύο.
❓ Γιατί:Γεωμετρικά: το εμβαδόν του τετραγώνου επί της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων επί των δύο κάθετων πλευρών. Η οπτική απόδειξη φαίνεται σε σχήμα με τρία τετράγωνα.
📎 Δες και:
•
Παρατήρηση: το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

↩️Αντίστροφο θεώρημα

•
Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.
💡 Παράδειγμα:
$Τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο μ ε πλευρ \overset{ε}{ˊ} ς 5, 12, 13 : 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2} \to ε \overset{ι}{ˊ} ναι ορθογ \overset{ω}{ˊ} νιο .$
❓ Γιατί:Αυτή την τεχνική χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι με «σκοινί 13 κόμπων» (πλευρές 3-4-5) για να φτιάχνουν ορθές γωνίες σε καλλιέργειες.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

2Σωστό / Λάθος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει σε κάθε τρίγωνο.

3Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4. Η υποτείνουσα είναι:

4Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 6 και 8. Η υποτείνουσα είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα 13 και μία κάθετη 5. Η άλλη κάθετη είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-gpyth-m8
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών 12 cm, 16 cm και 20 cm. α) Να αποδείξεις ότι είναι ορθογώνιο. β) Να εξετάσεις αν είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές, καθώς και το τρίγωνο που έχει τις μισές πλευρές.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Η μεγαλύτερη πλευρά είναι 20 cm. Είναι $1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400$ και $2 0^{2} = 400$ .
2. 2
  Ίσα, άρα από το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, με την ορθή γωνία απέναντι από την πλευρά των 20 cm. β) Το τρίγωνο με διπλάσιες πλευρές έχει 24 cm, 32 cm και 40 cm. Είναι $2 4^{2} + 3 2^{2} = 576 + 1.024 = 1.600$ και $4 0^{2} = 1.600$ , άρα και αυτό είναι ορθογώνιο.
3. 3
  Το τρίγωνο με τις μισές πλευρές έχει 6 cm, 8 cm και 10 cm. Είναι $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ και $1 0^{2} = 100$ , άρα και αυτό είναι ορθογώνιο.
4. 4
  Δεν πρόκειται για σύμπτωση: αν πολλαπλασιάσουμε και τις τρεις πλευρές με τον ίδιο θετικό αριθμό, όλα τα τετράγωνα πολλαπλασιάζονται με το τετράγωνο του αριθμού αυτού, οπότε η ισότητα δεν χαλάει.
2Μεσαίοgb-gpyth-m4
Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει πλευρές 2 $m$ και 3,5 $m$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν κάθετες πλευρές τις δύο διαστάσεις του ορθογωνίου και υποτείνουσα την ίδια τη διαγώνιο.
2. 2
  Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ της διαγωνίου είναι $2^{2} + 3, 5^{2} = 4 + 12, 25 = 16, 25$ .
3. 3
  Το ζητούμενο τετράγωνο έχει πλευρά τη διαγώνιο, οπότε το εμβαδόν του είναι ακριβώς αυτός ο αριθμός: 16,25 $m^{2}$ . Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάστηκε καθόλου να βρούμε το μήκος της διαγωνίου, που δεν είναι καν ρητός αριθμός.
4. 4
  Η ερώτηση ζητούσε εμβαδόν, και το εμβαδόν είναι ακριβώς το τετράγωνο που μας δίνει το θεώρημα.
3Μεσαίοgb-gpyth-m2
Χορδή ΑΒ κύκλου έχει μήκος 20 cm και η απόστασή της από το κέντρο είναι 7 cm. Βρες τη διάμετρο.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Μισό χορδής $= 10$ .
2. 2
  Ακτίνα $ρ = 1 0^{2} + 7^{2} = 100 + 49 = 149$ .
3. 3
  Διάμετρος $= 2149 c m$ .
4Εύκολοgb-gpyth-e4
Ένας μαραγκός θέλει να ενώσει δύο σανίδες σχηματίζοντας ορθή γωνία, χωρίς να έχει μαζί του γνώμονα. Μετράει πάνω στην πρώτη σανίδα $AB = 45 cm$ , πάνω στη δεύτερη $AΓ = 60 cm$ , και τις τοποθετεί έτσι ώστε η απόσταση των δύο σημείων να είναι $BΓ = 75 cm$ . Μπορείς να εξηγήσεις γιατί είναι σίγουρος ότι η γωνία που σχηματίζουν οι σανίδες είναι ορθή;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ελέγχουμε αν οι τρεις αριθμοί ικανοποιούν τη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος.
2. 2
  Η μεγαλύτερη πλευρά είναι η $BΓ = 75 cm$ . Είναι $4 5^{2} + 6 0^{2} = 2.025 + 3.600 = 5.625$ και $7 5^{2} = 5.625$ .
3. 3
  Τα δύο αποτελέσματα βγαίνουν ίσα.
4. 4
  Σύμφωνα με το ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ του Πυθαγορείου θεωρήματος, όταν το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.
5. 5
  Εδώ απέναντι από τη ΒΓ βρίσκεται η γωνία Α, δηλαδή ακριβώς η γωνία των δύο σανίδων.
6. 6
  Άρα ο μαραγκός είναι σίγουρος χωρίς γνώμονα, μόνο με μια μεζούρα.
5Εύκολοgb-gpyth-e5
Να εξετάσεις ποια από τα παρακάτω τρίγωνα είναι ορθογώνια. α) Τρίγωνο με πλευρές 9, 40 και 41. β) Τρίγωνο με πλευρές 12, 35 και 36. γ) Τρίγωνο με πλευρές 12, 35 και 37.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε κάθε περίπτωση συγκρίνουμε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων.
2. 2
  α) Είναι $9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1.600 = 1.681$ και $4 1^{2} = 1.681$ .
3. 3
  Ίσα, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
4. 4
  β) Είναι $1 2^{2} + 3 5^{2} = 144 + 1.225 = 1.369$ .
5. 5
  Το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς όμως είναι $3 6^{2} = 1.296$ .
6. 6
  Τα δύο αποτελέσματα ΔΕΝ είναι ίσα, άρα το τρίγωνο αυτό ΔΕΝ είναι ορθογώνιο.
7. 7
  γ) Είναι $1 2^{2} + 3 5^{2} = 1.369$ και $3 7^{2} = 1.369$ .
8. 8
  Ίσα, άρα αυτό είναι ορθογώνιο.
9. 9
  Σύγκρινε το β) με το γ): έχουν τις ίδιες δύο πλευρές και η τρίτη διαφέρει μόλις κατά 1, και όμως η απάντηση αντιστρέφεται.
10. 10
  Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος θέλει ΑΚΡΙΒΗ ισότητα, όχι δύο αριθμούς που μοιάζουν.
11. 11
  Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, η ορθή γωνία βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.
6Μεσαίοgb-gpyth-m6
Η διατομή ενός αρδευτικού καναλιού έχει σχήμα ισοσκελούς τραπεζίου με τις πλάγιες πλευρές ίσες με 2,5 $m$ , τη μικρή βάση 4 $m$ και τη μεγάλη βάση 8 $m$ . Να υπολογίσεις το βάθος $x$ του καναλιού, δηλαδή το ύψος του τραπεζίου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Φέρνουμε τα δύο ύψη από τα άκρα της μικρής βάσης προς τη μεγάλη.
2. 2
  Έτσι η μεγάλη βάση χωρίζεται σε τρία κομμάτια: δύο ίσα στα άκρα και ένα στη μέση ίσο με τη μικρή βάση, δηλαδή 4 $m$ . Τα δύο άκρα μαζί είναι $8 - 4 = 4 m$ , οπότε το καθένα $\frac{8 - 4}{2} = 2 m$ . Είναι ίσα μεταξύ τους ακριβώς επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές.
3. 3
  Σχηματίζεται τώρα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την πλάγια πλευρά 2,5 $m$ και κάθετες πλευρές το κομμάτι των 2 $m$ και το ζητούμενο βάθος.
4. 4
  Από το Πυθαγόρειο θεώρημα $x^{2} = 2, 5^{2} - 2^{2} = 6, 25 - 4 = 2, 25$ , άρα $x = 1, 5 m$ . Πρόσεξε ότι το θεώρημα δουλεύει το ίδιο καλά και με δεκαδικούς αριθμούς.
7Μεσαίοgb-gpyth-m3
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έχουν κατασκευαστεί τετράγωνα και προς τις τρεις πλευρές του. Να βρεις το εμβαδόν του τετραγώνου που λείπει. α) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 169 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 25 $m^{2}$ . β) Τα τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών έχουν εμβαδά 2,25 $m^{2}$ και 4 $m^{2}$ . γ) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 4 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 1,44 $m^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν μιλάει μόνο για αριθμούς, μιλάει για ΕΜΒΑΔΑ: το τετράγωνο που κατασκευάζεται πάνω στην υποτείνουσα έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων που κατασκευάζονται πάνω στις κάθετες πλευρές.
2. 2
  α) Ζητάμε τετράγωνο κάθετης πλευράς, άρα αφαιρούμε: $169 - 25 = 144 m^{2}$ . β) Ζητάμε το τετράγωνο της υποτείνουσας, άρα προσθέτουμε: $2, 25 + 4 = 6, 25 m^{2}$ . γ) Αφαιρούμε ξανά: $4 - 1, 44 = 2, 56 m^{2}$ . Πρόσεξε ότι στο β) και στο γ) τα εμβαδά είναι δεκαδικοί αριθμοί, κάτι που δεν εμποδίζει καθόλου τη σχέση να ισχύει.
8Μεσαίοgb-gpyth-m7
Ένα ράφι ΑΒ στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχο, τον οποίο ακουμπά στο άκρο του Β, και συγκρατείται με ένα μεταλλικό στήριγμα ΓΔ. Το Δ είναι σημείο του ραφιού και το Γ σημείο του τοίχου. Ο τεχνίτης μετράει πάνω στο ράφι $BΔ = 24 cm$ , πάνω στον τοίχο $BΓ = 18 cm$ και βρίσκει το στήριγμα $ΓΔ = 31 cm$ . α) Να εξετάσεις αν το ράφι είναι οριζόντιο. β) Πόσο θα έπρεπε να είναι το στήριγμα ώστε να είναι;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το ράφι θα είναι οριζόντιο μόνο αν είναι κάθετο στον κατακόρυφο τοίχο, δηλαδή μόνο αν η γωνία Β του τριγώνου ΒΓΔ είναι ορθή.
2. 2
  Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι είναι.
3. 3
  Τότε, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, ΘΑ ΕΠΡΕΠΕ να ισχύει $B Δ^{2} + B Γ^{2} = Γ Δ^{2}$ .
4. 4
  Υπολογίζουμε τα δύο μέλη χωριστά.
5. 5
  Το πρώτο: $2 4^{2} + 1 8^{2} = 576 + 324 = 900$ .
6. 6
  Το δεύτερο: $3 1^{2} = 961$ .
7. 7
  Τα δύο αποτελέσματα ΔΕΝ είναι ίσα, οπότε η υπόθεσή μας δεν στέκει: η γωνία Β δεν είναι ορθή και το ράφι δεν είναι οριζόντιο.
8. 8
  β) Για να είναι ορθή η γωνία Β, το τετράγωνο του στηρίγματος πρέπει να ισούται με 900, δηλαδή $ΓΔ = 30 cm$ . Ο τεχνίτης έχει στήριγμα ένα εκατοστό μακρύτερο από όσο χρειάζεται, και αυτό αρκεί για να γείρει το ράφι.
9Μεσαίοgb-gpyth-m5
Ένα διακοσμητικό πλακίδιο έχει σχήμα ρόμβου με διαγώνιες 10 cm και 24 cm. Να βρεις την περίμετρο και το εμβαδόν του.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Οι διαγώνιες του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται, δηλαδή κόβει η καθεμιά την άλλη στη μέση.
2. 2
  Έτσι σχηματίζονται τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα, με κάθετες πλευρές τις μισές διαγώνιες, δηλαδή $\frac{10}{2} = 5 cm$ και $\frac{24}{2} = 12 cm$ . Η πλευρά του ρόμβου είναι η υποτείνουσα καθενός από αυτά.
3. 3
  Αν την ονομάσουμε α, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα $α^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$ , άρα $α = 13 cm$ και η περίμετρος είναι $4 \cdot 13 = 52 cm$ . Για το εμβαδόν δεν χρειαζόμαστε κανέναν καινούριο τύπο: ο ρόμβος αποτελείται ακριβώς από τα τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα που ήδη βρήκαμε.
4. 4
  Το καθένα έχει εμβαδόν $5 \cdot \frac{12}{2} = 30 cm^{2}$ , άρα το πλακίδιο έχει $4 \cdot 30 = 120 cm^{2}$ .
10Μεσαίοgb-gpyth-m1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, βάση $= 12 cm$ και ίσες πλευρές $= 10 cm$ . Να βρεις το ύψος και το εμβαδόν.
Λύση βήμα-βήμα
Το ύψος πέφτει στο μέσο της βάσης: $υ = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8 cm$ . Εμβαδόν $= 12 \cdot \frac{8}{2} = 48 cm^{2}$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgb-gpyth-h3
Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 70 $m$ και πλευρές $AB = 3 x + 5, AΓ = 4 x + 1$ και $BΓ = 5 x + 4$ , μετρημένες σε μέτρα. α) Να βρεις τον αριθμό $x$ . β) Να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. γ) Να υπολογίσεις το εμβαδόν του.
2Δύσκολοgb-gpyth-h2
Τρίγωνο έχει πλευρές $AB = x - 14, AΓ = x, BΓ = x + 2$ και περίμετρο 60. Να βρεις το $x$ και να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
3Μεσαίοgb-gpyth-m8
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών 12 cm, 16 cm και 20 cm. α) Να αποδείξεις ότι είναι ορθογώνιο. β) Να εξετάσεις αν είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές, καθώς και το τρίγωνο που έχει τις μισές πλευρές.
4Μεσαίοgb-gpyth-m3
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έχουν κατασκευαστεί τετράγωνα και προς τις τρεις πλευρές του. Να βρεις το εμβαδόν του τετραγώνου που λείπει. α) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 169 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 25 $m^{2}$ . β) Τα τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών έχουν εμβαδά 2,25 $m^{2}$ και 4 $m^{2}$ . γ) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 4 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 1,44 $m^{2}$ .
5Μεσαίοgb-gpyth-m4
Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει πλευρές 2 $m$ και 3,5 $m$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
6Δύσκολοgb-gpyth-h4
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 20 cm. Το Μ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ και το Ρ σημείο της πλευράς ΒΓ με $BP = 5 cm$ . α) Να υπολογίσεις τα Μ $Δ^{2}$ , Μ $P^{2}$ και Δ $P^{2}$ . β) Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΜΡΔ είναι ορθογώνιο στο Μ.
7Μεσαίοgb-gpyth-m6
Η διατομή ενός αρδευτικού καναλιού έχει σχήμα ισοσκελούς τραπεζίου με τις πλάγιες πλευρές ίσες με 2,5 $m$ , τη μικρή βάση 4 $m$ και τη μεγάλη βάση 8 $m$ . Να υπολογίσεις το βάθος $x$ του καναλιού, δηλαδή το ύψος του τραπεζίου.
8Δύσκολοgb-g1.3-h2
Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ παράλληλη προς τη ΓΔ, οι βάσεις είναι $AB = 10 cm$ και $ΓΔ = 26 cm$ και οι πλάγιες πλευρές 17 cm. Να βρεις το ύψος και το εμβαδόν του.
9Μεσαίοgb-gpyth-m2
Χορδή ΑΒ κύκλου έχει μήκος 20 cm και η απόστασή της από το κέντρο είναι 7 cm. Βρες τη διάμετρο.
10Μεσαίοgb-gpyth-m9
Θέλουμε να συγκρίνουμε τρεις οικισμούς Ε, Δ και Α ως προς την απόστασή τους από την πόλη Β. Ο Ε απέχει 29 km από τη Β και 21 km από τον Δ, και το τρίγωνο ΒΔΕ έχει ορθή γωνία στο Δ. Ο οικισμός Α και η πόλη Β βρίσκονται πάνω σε δύο δρόμους που τέμνονται κάθετα στη διασταύρωση Γ: ο Α απέχει 12 km από τη διασταύρωση και η Β 16 km. Ποιος ή ποιοι από τους τρεις οικισμούς βρίσκονται πλησιέστερα στην πόλη Β;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🟪 Quiz · Εμβαδά & Πυθαγόρειο Θεώρημα

← Προηγούμενο

Γ.1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Επόμενο →

Γ.2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας