Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα›Γ.1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα

§Γ.1.3 Τύποι εμβαδών

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📏Βασικά σχήματα

•
Εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α: $E = α^{2}$
•
Εμβαδόν ορθογωνίου με διαστάσεις α και β: $E = α \cdot β$
▶️ Ε = α·β (ορθογώνιο) ή α² (τετράγωνο).
Λόγος ομοιότητας λ2.00
Εμβαδόν Π1600
Εμβαδόν Π′6400
E′/E = λ²4.00
Αν διπλασιάσεις τη διάσταση (λ=2), το εμβαδόν τετραπλασιάζεται (λ²=4)
•
Εμβαδόν παραλληλογράμμου με βάση β και ύψος υ: $E = β \cdot υ$
💡 Παράδειγμα:
$Παραλληλ \overset{ο}{ˊ} γραμμο μ ε β \overset{α}{ˊ} ση 8 και \overset{υ}{ˊ} ψος 5 \to εμβαδ \overset{ο}{ˊ} ν 40.$
▶️ Κόβουμε το ένα τρίγωνο και το μεταφέρουμε στην άλλη πλευρά → σχηματίζεται ορθογώνιο με βάση β και ύψος υ.
Πάτα ▶ για να δεις γιατί Ε = β · υ σε παραλληλόγραμμο.
Ταχύτητα

🔺Τρίγωνο

•
Εμβαδόν τυχαίου τριγώνου με βάση β και αντίστοιχο ύψος υ: $E = \frac{β \cdot υ}{2}$
💡 Παράδειγμα:
$Τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο μ ε β \overset{α}{ˊ} ση 10 και \overset{υ}{ˊ} ψος 6 \to εμβαδ \overset{ο}{ˊ} ν 30.$
❓ Γιατί:Δύο ίσα τρίγωνα ενώνονται και σχηματίζουν παραλληλόγραμμο εμβαδού β·υ. Το ένα τρίγωνο = μισό αυτού.
•
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές α και β: $E = \frac{α \cdot β}{2}$
▶️ Ε = α·β (ορθογώνιο) ή α² (τετράγωνο).
Λόγος ομοιότητας λ2.00
Εμβαδόν Π1600
Εμβαδόν Π′6400
E′/E = λ²4.00
Αν διπλασιάσεις τη διάσταση (λ=2), το εμβαδόν τετραπλασιάζεται (λ²=4)

⬡Τραπέζιο

•
Εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις Β (μεγάλη) και β (μικρή) και ύψος υ: $E = \frac{( β + B ) \cdot υ}{2}$
💡 Παράδειγμα:
$Τραπ \overset{ε}{ˊ} ζιο μ ε β \overset{α}{ˊ} σεις 8 και 12 και \overset{υ}{ˊ} ψος 5 : E = (8 + 12) \cdot \frac{5}{2} = 50.$
▶️ Διπλασιάζοντας το τραπέζιο, σχηματίζεται παραλληλόγραμμο. Ε = (Β+β)·υ/2.
Πάτα ▶ για να δεις γιατί Ε = (Β + β) · υ / 2 στο τραπέζιο.
Ταχύτητα

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Το εμβαδόν τριγώνου με βάση β και ύψος υ είναι

\frac{β \cdot υ}{2}

2Πολλαπλής επιλογής

Εμβαδόν ορθογωνίου με διαστάσεις 6 και 8:

3Πολλαπλής επιλογής

Εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 5:

4Πολλαπλής επιλογής

Εμβαδόν τριγώνου με βάση 10 και ύψος 6:

5Πολλαπλής επιλογής

Εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις 8 και 12 και ύψος 5:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-g1.3-e1
Ορθογώνιο έχει εμβαδόν $\frac{56}{9} m^{2}$ και τη μία πλευρά $\frac{7}{3} m$ . Βρες την περίμετρό του.
Λύση βήμα-βήμα
Άλλη πλευρά $= \frac{\frac{56}{9}}{\frac{7}{3}} = \frac{56}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{3} m$ . Περίμετρος $= 2 (\frac{7}{3} + \frac{8}{3}) = 2 \cdot \frac{15}{3} = 10 m$ .
2Μεσαίοgb-g1.3-m6
Ένα τετράγωνο και ένα τραπέζιο έχουν ίσα εμβαδά. Οι βάσεις του τραπεζίου είναι 6 cm και 12 cm και το ύψος του 9 cm. Να υπολογίσεις το εμβαδόν και την πλευρά του τετραγώνου.
Λύση βήμα-βήμα
Ξεκινάμε από το τραπέζιο, γιατί μόνο για αυτό γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία που χρειάζεται ο τύπος: $\frac{6 + 12}{2} \cdot 9 = 9 \cdot 9 = 81 cm^{2}$ . Αφού τα δύο εμβαδά είναι ίσα, και το τετράγωνο έχει εμβαδόν 81 c $m^{2}$ . Η πλευρά του είναι ο θετικός αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει 81, δηλαδή 9 cm. Αξίζει να προσέξεις ότι τα δύο σχήματα δεν μοιάζουν καθόλου και όμως καλύπτουν ίδια έκταση.
3Μεσαίοgb-g1.3-m11
Ένα μπλοκ σχεδίου έχει 40 φύλλα και κάθε φύλλο έχει διαστάσεις 20 cm και 28 cm. Να υπολογίσεις το συνολικό εμβαδόν των 40 φύλλων, σε c $m^{2}$ και σε $m^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
Κάθε φύλλο είναι ορθογώνιο, άρα έχει εμβαδόν $20 \cdot 28 = 560 cm^{2}$ . Το μπλοκ έχει 40 φύλλα, οπότε το συνολικό εμβαδόν είναι $40 \cdot 560 = 22.400 cm^{2}$ . Για να το γράψουμε σε $m^{2}$ ανεβαίνουμε δύο σκαλιά, δηλαδή διαιρούμε με 10.000: $\frac{22.400}{10.000} = 2, 24 m^{2}$ . Το αποτέλεσμα βγάζει νόημα: λίγο περισσότερο από δύο τετραγωνικά μέτρα χαρτί για ένα μπλοκ.
4Μεσαίοgb-g1.3-m8
Το εργαστήριο Πληροφορικής ενός σχολείου έχει δάπεδο με διαστάσεις 9 $m$ και 6 $m$ και θα στρωθεί με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 30 cm. α) Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν; β) Αν κάθε πλακάκι κοστίζει 0,8 ευρώ, πόσο θα στοιχίσει το στρώσιμο;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Τα δύο εμβαδά πρέπει να μετρηθούν στην ΙΔΙΑ μονάδα, αλλιώς η διαίρεση δεν σημαίνει τίποτα.
2. 2
  Φέρνουμε λοιπόν τα πάντα σε εκατοστά: το δάπεδο είναι 900 cm επί 600 cm, δηλαδή 540.000 c $m^{2}$ , και κάθε πλακάκι $30 \cdot 30 = 900 cm^{2}$ . Διαιρώντας βρίσκουμε πόσες φορές χωράει το πλακάκι μέσα στο δάπεδο: $\frac{540.000}{900} = 600$ πλακάκια.
3. 3
  β) Το κόστος είναι $600 \cdot 0, 8 = 480$ ευρώ.
4. 4
  Πρόσεξε ότι εδώ το δάπεδο καλύπτεται ΑΚΡΙΒΩΣ, χωρίς να κοπεί κανένα πλακάκι: 900 προς 30 δίνει 30 πλακάκια στη μία κατεύθυνση και 600 προς 30 δίνει 20 στην άλλη, δηλαδή $30 \cdot 20 = 600$ .
5. 5
  Αν οι διαστάσεις δεν έβγαιναν ακέραιες, θα χρειαζόταν κόψιμο και θα παραγγέλναμε λίγα παραπάνω.
5Μεσαίοgb-g1.3-m3
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ η πλευρά ΔΓ είναι 8 cm και το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτήν είναι 3 cm. Η πλευρά ΑΔ είναι 6 cm. α) Να βρεις το εμβαδόν του παραλληλογράμμου. β) Να βρεις το ύψος $x$ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΔ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι η βάση επί το αντίστοιχο ύψος.
2. 2
  Με βάση τη ΔΓ βρίσκουμε εμβαδόν $8 \cdot 3 = 24 cm^{2}$ . β) Εδώ είναι το κλειδί της άσκησης: το παραλληλόγραμμο έχει ΔΥΟ ζευγάρια βάσης και ύψους, και επειδή το εμβαδόν του είναι ένα και μοναδικό, τα δύο ζευγάρια πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα.
3. 3
  Αν πάρουμε ως βάση την πλευρά ΑΔ, που είναι 6 cm, γράφουμε $6 \cdot x = 24$ , οπότε $x = \frac{24}{6} = 4 cm$ . Πρόσεξε ότι στη μικρότερη πλευρά αντιστοιχεί το μεγαλύτερο ύψος.
4. 4
  Είναι λογικό: το γινόμενό τους πρέπει να μείνει σταθερό, οπότε αν ο ένας παράγοντας μικρύνει ο άλλος υποχρεωτικά μεγαλώνει.
6Εύκολοgb-g1.3-e2
Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι 72 cm. Να υπολογίσεις το εμβαδόν του.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το τετράγωνο έχει τέσσερις ίσες πλευρές, οπότε η περίμετρός του είναι τετραπλάσια της πλευράς.
2. 2
  Άρα η πλευρά είναι $\frac{72}{4} = 18 cm$ . Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι η πλευρά επί τον εαυτό της: $1 8^{2} = 324 cm^{2}$ . Πρόσεξε ότι η περίμετρος μετρήθηκε σε cm και το εμβαδόν σε c $m^{2}$ , γιατί η πρώτη μετράει μήκος και το δεύτερο επιφάνεια.
7Μεσαίοgb-g1.3-m9
Ένα οικόπεδο αποτελείται από ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 20 $m$ και 12 $m$ και, κολλητά σε αυτό, ένα τραπέζιο με βάσεις 12 $m$ και 6 $m$ και ύψος 8 $m$ , που ακουμπά με τη μεγάλη του βάση πάνω στην πλευρά των 12 $m$ του ορθογωνίου. Το οικόπεδο πωλείται προς 250 ευρώ το τετραγωνικό μέτρο. Ποια είναι η αξία του;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Όταν ένα σχήμα δεν είναι κανένα από τα βασικά, το κόβουμε σε βασικά σχήματα και προσθέτουμε τα εμβαδά τους.
2. 2
  Το ορθογώνιο έχει εμβαδόν $20 \cdot 12 = 240 m^{2}$ . Το τραπέζιο έχει εμβαδόν $\frac{12 + 6}{2} \cdot 8 = 72 m^{2}$ . Άρα το οικόπεδο είναι $240 + 72 = 312 m^{2}$ . Η αξία του βγαίνει πολλαπλασιάζοντας το εμβαδόν με την τιμή του ενός τετραγωνικού μέτρου: $312 \cdot 250 = 78.000$ ευρώ.
8Μεσαίοgb-g1.3-m10
Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ με $AB = 14 cm$ και $BΓ = 8 cm$ παίρνουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ε πάνω στην πλευρά ΓΔ και σχηματίζουμε το τρίγωνο ΑΒΕ. α) Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ; β) Αλλάζει το εμβαδόν αν μετακινήσουμε το Ε πάνω στη ΓΔ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Βάση του τριγώνου είναι η $AB = 14 cm$ και ύψος του η απόσταση της κορυφής Ε από την ευθεία ΑΒ.
2. 2
  Επειδή όμως το Ε βρίσκεται πάνω στη ΓΔ, που είναι παράλληλη προς την ΑΒ, η απόσταση αυτή είναι σταθερή και ίση με το πλάτος του ορθογωνίου, δηλαδή 8 cm. Άρα το εμβαδόν είναι $14 \cdot \frac{8}{2} = 56 cm^{2}$ . β) Δεν αλλάζει καθόλου.
3. 3
  Όπου και αν μετακινηθεί το Ε πάνω στη ΓΔ, η βάση παραμένει 14 cm και το ύψος 8 cm, γιατί δύο παράλληλες ευθείες απέχουν παντού το ίδιο.
4. 4
  Το τρίγωνο έχει πάντα το μισό εμβαδόν από το ορθογώνιο, το οποίο είναι $14 \cdot 8 = 112 cm^{2}$ . Αυτό δείχνει κάτι σημαντικό: το εμβαδόν του τριγώνου δεν εξαρτάται από το πόσο λοξό φαίνεται, μόνο από τη βάση και το ύψος του.
9Εύκολοgb-g1.3-e4
Να υπολογίσεις τα εμβαδά στις παρακάτω περιπτώσεις. α) Παραλληλόγραμμο με βάση 15 cm και αντίστοιχο ύψος 6 cm. β) Τραπέζιο με βάσεις 7 cm και 13 cm και ύψος 6 cm. γ) Τρίγωνο με βάση 9 cm και αντίστοιχο ύψος 8 cm. δ) Τετράγωνο με πλευρά 11 cm. ε) Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 6 cm και 6 cm.
Λύση βήμα-βήμα
α) Στο παραλληλόγραμμο το εμβαδόν είναι η βάση επί το αντίστοιχο ύψος: $15 \cdot 6 = 90 cm^{2}$ . β) Στο τραπέζιο προσθέτουμε τις δύο βάσεις, παίρνουμε το μισό του αθροίσματος και πολλαπλασιάζουμε με το ύψος: $\frac{7 + 13}{2} \cdot 6 = 60 cm^{2}$ . γ) Στο τρίγωνο το εμβαδόν είναι βάση επί ύψος διά 2: $9 \cdot \frac{8}{2} = 36 cm^{2}$ . δ) Στο τετράγωνο είναι η πλευρά επί τον εαυτό της: $1 1^{2} = 121 cm^{2}$ . ε) Στο ορθογώνιο τρίγωνο δεν χρειάζεται να ψάξουμε ύψος, γιατί η μία κάθετη πλευρά παίζει τον ρόλο της βάσης και η άλλη τον ρόλο του ύψους: $6 \cdot \frac{6}{2} = 18 cm^{2}$ .
10Μεσαίοgb-g1.3-m5
Να βρεις το $x$ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) Ορθογώνιο με πλευρές 5 cm και $x$ , με εμβαδόν 60 c $m^{2}$ . β) Τετράγωνο με πλευρά $x$ , με εμβαδόν 49 c $m^{2}$ . γ) Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 5 cm και $x$ , με εμβαδόν 30 c $m^{2}$ . δ) Ορθογώνιο τρίγωνο με τις δύο κάθετες πλευρές ίσες με $x$ , με εμβαδόν 24,5 c $m^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε όλες ξεκινάμε από τον τύπο του εμβαδού και λύνουμε ως προς $x$ .
2. 2
  α) Είναι $5 \cdot x = 60$ , άρα $x = 12 cm$ . β) Είναι $x^{2} = 49$ .
3. 3
  Ψάχνουμε θετικό αριθμό που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει 49, άρα $x = 7 cm$ . Το −7 απορρίπτεται, γιατί μήκος πλευράς δεν είναι ποτέ αρνητικό.
4. 4
  γ) Είναι $5 \cdot \frac{x}{2} = 30$ , δηλαδή $5 \cdot x = 60$ , άρα $x = 12 cm$ . δ) Είναι $x \cdot \frac{x}{2} = 24, 5$ , δηλαδή $x^{2} = 49$ , άρα $x = 7 cm$ . Σύγκρινε το α) με το γ): το τρίγωνο έχει το μισό εμβαδόν από το ορθογώνιο και όμως το $x$ βγαίνει ακριβώς το ίδιο.
5. 5
  Δεν είναι σύμπτωση, είναι ο κανόνας ότι το ορθογώνιο τρίγωνο είναι πάντα το μισό του ορθογωνίου με τις ίδιες κάθετες πλευρές.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g1.3-m1
Σε ορθογώνιο, το μήκος είναι διπλάσιο του πλάτους και το εμβαδόν είναι 648 c $m^{2}$ . Υπολόγισε την περίμετρο.
2Δύσκολοgb-g1.3-h4
Ένα κτήμα έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις 80 $m$ και 60 $m$ , από το οποίο έχει αποκοπεί μια γωνία με ευθύγραμμο τμήμα: η μία πλευρά των 60 $m$ έχει κοντύνει στα 45 $m$ και η διπλανή της πλευρά των 80 $m$ στα 60 $m$ . Το κτήμα πωλείται προς 16.000 ευρώ το στρέμμα. α) Ποια είναι η αξία του; β) Πόσα κλήματα μπορούμε να φυτέψουμε σε αυτό, αν κάθε κλήμα απαιτεί 2,5 $m^{2}$ χώρο;
3Μεσαίοgb-g1.3-m6
Ένα τετράγωνο και ένα τραπέζιο έχουν ίσα εμβαδά. Οι βάσεις του τραπεζίου είναι 6 cm και 12 cm και το ύψος του 9 cm. Να υπολογίσεις το εμβαδόν και την πλευρά του τετραγώνου.
4Μεσαίοgb-g1.3-m5
Να βρεις το $x$ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) Ορθογώνιο με πλευρές 5 cm και $x$ , με εμβαδόν 60 c $m^{2}$ . β) Τετράγωνο με πλευρά $x$ , με εμβαδόν 49 c $m^{2}$ . γ) Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 5 cm και $x$ , με εμβαδόν 30 c $m^{2}$ . δ) Ορθογώνιο τρίγωνο με τις δύο κάθετες πλευρές ίσες με $x$ , με εμβαδόν 24,5 c $m^{2}$ .
5Δύσκολοgb-g1.3-h6
Στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται κάθετα σε σημείο Ο που βρίσκεται στο εσωτερικό του. Δίνονται $BΔ = 8 cm, OA = 5 cm$ και $OΓ = 7 cm$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τετραπλεύρου.
6Μεσαίοgb-g1.3-m9
Ένα οικόπεδο αποτελείται από ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 20 $m$ και 12 $m$ και, κολλητά σε αυτό, ένα τραπέζιο με βάσεις 12 $m$ και 6 $m$ και ύψος 8 $m$ , που ακουμπά με τη μεγάλη του βάση πάνω στην πλευρά των 12 $m$ του ορθογωνίου. Το οικόπεδο πωλείται προς 250 ευρώ το τετραγωνικό μέτρο. Ποια είναι η αξία του;
7Μεσαίοgb-g1.3-m10
Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ με $AB = 14 cm$ και $BΓ = 8 cm$ παίρνουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ε πάνω στην πλευρά ΓΔ και σχηματίζουμε το τρίγωνο ΑΒΕ. α) Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ; β) Αλλάζει το εμβαδόν αν μετακινήσουμε το Ε πάνω στη ΓΔ;
8Δύσκολοgb-g1.3-h3
Η αυλή ενός σχολείου είναι ορθογώνια, με διαστάσεις 50 $m$ και 30 $m$ . Τη διασχίζουν δύο κάθετοι μεταξύ τους διάδρομοι: ο ένας είναι παράλληλος προς τη μεγάλη πλευρά και έχει πλάτος 2 $m$ , ο άλλος είναι παράλληλος προς τη μικρή πλευρά και έχει πλάτος 1,5 $m$ . Το υπόλοιπο τμήμα θα φυτευτεί με γκαζόν. Να υπολογίσεις πόσο θα κοστίσει το γκαζόν, αν ο κηπουρός χρεώνει 10 ευρώ κάθε $m^{2}$ .
9Μεσαίοgb-g1.3-m2
Η μεγάλη βάση τραπεζίου είναι τριπλάσια της μικρής. Αν το εμβαδόν είναι 21 $m^{2}$ και το ύψος 7 $m$ , να βρεις τη μεγάλη βάση.
10Μεσαίοgb-g1.3-m4
Σε τρίγωνο ΕΘΗ η πλευρά ΘΗ είναι 30 cm και το ύψος ΕΖ που αντιστοιχεί σε αυτήν είναι 20 cm, με το Ζ πάνω στη ΘΗ. Η πλευρά ΕΗ είναι 25 cm. α) Να βρεις το εμβαδόν του τριγώνου. β) Να βρεις το ύψος ΘΚ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΕΗ, με το Κ πάνω στην ΕΗ.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🟪 Quiz · Εμβαδά & Πυθαγόρειο Θεώρημα

← Προηγούμενο

Γ.1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών

Επόμενο →

Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα