Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα›Γ.1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα

§Γ.1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🟦Ορισμός εμβαδού

•
Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο.
•
Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε.
💡 Παράδειγμα:
$Σχ \overset{η}{ˊ} μα μετρημ \overset{ε}{ˊ} νο μ ε τετραγων \overset{α}{ˊ} κια σ ε πλ \overset{ε}{ˊ} γμα \to 71 τετραγων \overset{α}{ˊ} κια .$
Αν αλλάξουμε μονάδα μέτρησης, αλλάζει και ο αριθμός.
❓ Γιατί:Έτσι ορίστηκε η μέτρηση από τους Αιγυπτίους: σύγκριση με σταθερή μονάδα. Αν αλλάξει η μονάδα, αλλάζει και ο αριθμός που εκφράζει το ίδιο μέγεθος — όπως η ίδια απόσταση είναι $100 cm = 1 m = 1.000 mm$ .
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι πάντα θετικός αριθμός.

2Σωστό / Λάθος

Ο αριθμός που εκφράζει το εμβαδόν δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τη μονάδα μέτρησης.

3Πολλαπλής επιλογής

Το εμβαδόν εκφράζει:

4Πολλαπλής επιλογής

Αν μετρήσουμε ένα σχήμα με μικρότερη μονάδα μέτρησης, ο αριθμός του εμβαδού:

5Πολλαπλής επιλογής

Η περίμετρος μετριέται σε μονάδες μήκους. Το εμβαδόν μετριέται σε:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-g1.1-m3
Η Νεφέλη και ο Στέφανος σχεδίασαν σε τετραγωνισμένο χαρτί δύο σχήματα που δεν μοιάζουν καθόλου μεταξύ τους, και το καθένα καλύπτει 52 τετραγωνάκια. α) Έχουν οπωσδήποτε ίσο εμβαδόν; Έχουν οπωσδήποτε ίση περίμετρο; Να δικαιολογήσεις. β) Αν ξαναμετρήσουμε το σχήμα της Νεφέλης με μονάδα ένα τετραγωνάκι που έχει τη ΜΙΣΗ πλευρά, πόσο θα βγει το εμβαδόν του;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ίσο εμβαδόν έχουν οπωσδήποτε: το εμβαδόν είναι ακριβώς ο αριθμός των μονάδων που χρειάζονται για να καλυφθεί το σχήμα, και εδώ είναι 52 και στα δύο.
2. 2
  Ίση περίμετρο ΔΕΝ έχουν οπωσδήποτε.
3. 3
  Η περίμετρος μετράει το μήκος του περιγράμματος, που εξαρτάται από το πόσο δαντελωτό είναι το σχήμα: ένα σχήμα με πολλές εσοχές έχει πολύ μεγαλύτερο περίγραμμα από ένα συμπαγές ορθογώνιο με τα ίδια τετραγωνάκια.
4. 4
  Ίσο εμβαδόν λοιπόν δεν σημαίνει ούτε ίδιο σχήμα ούτε ίση περίμετρος.
5. 5
  β) Προσοχή, το νέο τετραγωνάκι έχει τη μισή ΠΛΕΥΡΑ, όχι το μισό εμβαδόν.
6. 6
  Μέσα σε ένα παλιό τετραγωνάκι χωρούν δύο σειρές από δύο μικρά, δηλαδή 4 συνολικά.
7. 7
  Άρα η νέα μονάδα είναι τέσσερις φορές μικρότερη και ο αριθμός που εκφράζει το ίδιο εμβαδόν βγαίνει τέσσερις φορές μεγαλύτερος: $4 \cdot 52 = 208$ .
8. 8
  Η έκταση του σχήματος φυσικά δεν άλλαξε καθόλου, άλλαξε μόνο η μονάδα με την οποία τη μετράμε.
2Μεσαίοgb-g1.1-m2
Το πάτωμα ενός δωματίου καλύπτεται ακριβώς από 48 τετράγωνα πλακάκια. Αν χρησιμοποιήσουμε πλακάκια με το μισό εμβαδόν, πόσα θα χρειαστούμε; Και αν χρησιμοποιήσουμε πλακάκια με τετραπλάσιο εμβαδόν;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το εμβαδόν του πατώματος δεν αλλάζει.
2. 2
  Με πλακάκι μισού εμβαδού χρειαζόμαστε διπλάσια πλακάκια, δηλαδή $2 \cdot 48 = 96$ .
3. 3
  Με πλακάκι τετραπλάσιου εμβαδού χρειαζόμαστε τέσσερις φορές λιγότερα, δηλαδή $\frac{48}{4} = 12$ .
4. 4
  Όσο μικρότερη είναι η μονάδα μέτρησης, τόσο μεγαλύτερος βγαίνει ο αριθμός που εκφράζει το ίδιο εμβαδόν.
3Εύκολοgb-g1.1-e2
Δύο σχήματα Α και Β έχουν εμβαδά 25 και 12,5 τετραγωνάκια αντίστοιχα. Αν τα ενώσουμε χωρίς να επικαλύπτονται, πόσο θα είναι το εμβαδόν του σχήματος που προκύπτει;
Λύση βήμα-βήμα
Το εμβαδόν του νέου σχήματος είναι το άθροισμα των δύο εμβαδών, δηλαδή $25 + 12, 5 = 37, 5$ τετραγωνάκια.
4Εύκολοgb-g1.1-e1
Ένα σχήμα σχεδιασμένο σε τετραγωνισμένο χαρτί καλύπτει 71 τετραγωνάκια. Πόσο είναι το εμβαδόν του, αν πάρουμε ως μονάδα μέτρησης: α) το τετραγωνάκι, β) το μισό τετραγωνάκι, γ) δύο τετραγωνάκια μαζί;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το εμβαδόν είναι 71.
2. 2
  β) Κάθε τετραγωνάκι είναι δύο μισά, άρα το εμβαδόν είναι $2 \cdot 71 = 142$ .
3. 3
  γ) Κάθε νέα μονάδα είναι δύο τετραγωνάκια, άρα το εμβαδόν είναι $\frac{71}{2} = 35, 5$ .
5Μεσαίοgb-g1.1-m1
Δύο μαθητές μετρούν το εμβαδόν του ίδιου σχήματος. Ο πρώτος χρησιμοποιεί ως μονάδα το τετραγωνάκι και βρίσκει 48. Ο δεύτερος βρίσκει 12. Τι μονάδα μέτρησης χρησιμοποίησε ο δεύτερος; Άλλαξε η επιφάνεια του σχήματος;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ο δεύτερος βρήκε αριθμό τέσσερις φορές μικρότερο, άρα χρησιμοποίησε μονάδα τέσσερις φορές μεγαλύτερη, δηλαδή μια μονάδα που πιάνει 4 τετραγωνάκια.
2. 2
  Μπορεί να είναι, για παράδειγμα, ένα τετράγωνο 2 επί 2 τετραγωνάκια, αλλά και οποιοδήποτε άλλο σχήμα από 4 τετραγωνάκια.
3. 3
  Η επιφάνεια του σχήματος δεν άλλαξε.
4. 4
  Άλλαξε μόνο ο αριθμός που εκφράζει το εμβαδόν, γιατί άλλαξε η μονάδα μέτρησης.
6Μεσαίοgb-g1.1-m4
Ο Θοδωρής έκοψε από χαρτόνι τέσσερα ίσα τρίγωνα. Καθένα είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, με τις δύο κάθετες πλευρές του ίσες με 8 cm. α) Ενώνει δύο από αυτά κατά μήκος της υποτείνουσας. Τι σχήμα φτιάχνει και πόσο είναι το εμβαδόν του; β) Πόσο είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου; γ) Με τα τέσσερα τρίγωνα φτιάχνει διαδοχικά ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο. Θα έχουν τα τρία αυτά σχήματα το ίδιο εμβαδόν;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε οι δύο οξείες γωνίες του μοιράζονται τις 90 μοίρες που περισσεύουν και είναι από 45° η καθεμιά.
2. 2
  Ενώνοντας δύο τέτοια τρίγωνα κατά μήκος της υποτείνουσας, σε κάθε άκρο της συναντιούνται δύο γωνίες των 45° και σχηματίζουν ορθή.
3. 3
  Το σχήμα που προκύπτει έχει λοιπόν τέσσερις πλευρές των 8 cm και τέσσερις ορθές γωνίες, άρα είναι τετράγωνο με εμβαδόν $8 \cdot 8 = 64 cm^{2}$ . β) Το τετράγωνο αυτό αποτελείται από δύο ίσα τρίγωνα, άρα το καθένα έχει το μισό εμβαδόν, δηλαδή $\frac{64}{2} = 32 cm^{2}$ . γ) Ναι, και τα τρία σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν, ίσο με $4 \cdot 32 = 128 cm^{2}$ . Ο λόγος είναι ότι κάθε φορά χρησιμοποιεί ΤΑ ΙΔΙΑ τέσσερα κομμάτια, απλώς τοποθετημένα αλλιώς.
4. 4
  Το εμβαδόν μετράει την έκταση που καλύπτει το σχήμα, και η έκταση δεν αλλάζει όταν μετακινούμε τα κομμάτια χωρίς να τα επικαλύπτουμε και χωρίς να αφήνουμε κενά.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-g1.1-m1
Δύο μαθητές μετρούν το εμβαδόν του ίδιου σχήματος. Ο πρώτος χρησιμοποιεί ως μονάδα το τετραγωνάκι και βρίσκει 48. Ο δεύτερος βρίσκει 12. Τι μονάδα μέτρησης χρησιμοποίησε ο δεύτερος; Άλλαξε η επιφάνεια του σχήματος;
2Μεσαίοgb-g1.1-m3
Η Νεφέλη και ο Στέφανος σχεδίασαν σε τετραγωνισμένο χαρτί δύο σχήματα που δεν μοιάζουν καθόλου μεταξύ τους, και το καθένα καλύπτει 52 τετραγωνάκια. α) Έχουν οπωσδήποτε ίσο εμβαδόν; Έχουν οπωσδήποτε ίση περίμετρο; Να δικαιολογήσεις. β) Αν ξαναμετρήσουμε το σχήμα της Νεφέλης με μονάδα ένα τετραγωνάκι που έχει τη ΜΙΣΗ πλευρά, πόσο θα βγει το εμβαδόν του;
3Μεσαίοgb-g1.1-m4
Ο Θοδωρής έκοψε από χαρτόνι τέσσερα ίσα τρίγωνα. Καθένα είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, με τις δύο κάθετες πλευρές του ίσες με 8 cm. α) Ενώνει δύο από αυτά κατά μήκος της υποτείνουσας. Τι σχήμα φτιάχνει και πόσο είναι το εμβαδόν του; β) Πόσο είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου; γ) Με τα τέσσερα τρίγωνα φτιάχνει διαδοχικά ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο. Θα έχουν τα τρία αυτά σχήματα το ίδιο εμβαδόν;
4Μεσαίοgb-g1.1-m2
Το πάτωμα ενός δωματίου καλύπτεται ακριβώς από 48 τετράγωνα πλακάκια. Αν χρησιμοποιήσουμε πλακάκια με το μισό εμβαδόν, πόσα θα χρειαστούμε; Και αν χρησιμοποιήσουμε πλακάκια με τετραπλάσιο εμβαδόν;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🟪 Quiz · Εμβαδά & Πυθαγόρειο Θεώρημα

← Προηγούμενο

4.5 Μέση τιμή - Διάμεσος

Επόμενο →

Γ.1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών