Κεφ. 7 - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί›7.8 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 7 - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί

§7.8 Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

⚡Ορισμός δύναμης ρητού

•
Το γινόμενο α · α · α · … · α (ν παράγοντες, με α θετικό ή αρνητικό ρητό) συμβολίζεται $α^{n}$ και λέγεται δύναμη με βάση α και εκθέτη το φυσικό $ν > 1$ . $α^{n} = α \cdot α \cdot α \cdot \dots \cdot α (ν παρ \overset{α}{ˊ} γοντες)$
💡 Παράδειγμα:
$(- 2)^{4} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = + 16.$
•
Για $ν = 1$ , ισχύει $α^{1} = α$ .
•
Το $α^{2}$ λέγεται τετράγωνο του α. Το $α^{3}$ λέγεται κύβος του α.

🎯Πρόσημο δύναμης

•
Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετική: $α > 0 \Rightarrow α^{n} > 0$
💡 Παράδειγμα:
$(+ 2)^{5} = + 32.$
•
Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετική: $α < 0, ν \overset{α}{ˊ} ρτιος \Rightarrow α^{n} > 0$
💡 Παράδειγμα:
$(- 2)^{4} = + 16.$
❓ Γιατί:Με κανόνα προσήμων (−)·(−) = (+), σε άρτιο πλήθος παραγόντων όλα τα αρνητικά «ζευγαρώνουν» και ακυρώνονται. Σε περιττό πλήθος μένει ένα μοναχικό (−).
📎 Δες και:
•
Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητική: $α < 0, ν περιττ \overset{ο}{ˊ} ς \Rightarrow α^{n} < 0$
💡 Παράδειγμα:
$(- 2)^{5} = - 32.$

⚙️Ιδιότητες δυνάμεων

•
Γινόμενο δυνάμεων με ίδια βάση: $α^{m} \cdot α^{n} = α^{m + n}$
💡 Παράδειγμα:
$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128.$
•
Πηλίκο δυνάμεων με ίδια βάση: $α^{m} : α^{n} = α^{m - n} (α \neq = 0)$
💡 Παράδειγμα:
$5^{7} : 5^{3} = 5^{4} = 625.$
•
Δύναμη δυνάμεως: $(α^{m})^{n} = α^{m \cdot n}$
💡 Παράδειγμα:
$(3^{2})^{4} = 3^{8} .$
•
Δύναμη γινομένου: $(α \cdot β)^{n} = α^{n} \cdot β^{n}$
💡 Παράδειγμα:
$(2 \cdot 3)^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36.$
•
Δύναμη πηλίκου: $(\frac{α}{β})^{n} = \frac{α ^{n}}{β ^{n}}$
💡 Παράδειγμα:
$(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} .$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοga-7.7-e2
Υπολόγισε: (−3)², (−3)³ και $3^{4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $(- 3)^{2} = 9$ .
2. 2
  $(- 3)^{3} = - 27$ .
3. 3
  $3^{4} = 81$ .
2Εύκολοga-7.8-e3
Υπολόγισε: $6^{4}$ : $2^{4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$6^{4}$ : $2^{4} = (\frac{6}{2})^{4} = 3^{4} = 81$ .
3Μεσαίοga-7.7-m3
Υπολόγισε: $2^{3}$ · 3 + $3^{2}$ + $4^{3}$ : 8 − (−1)¹³ + 2.
Λύση βήμα-βήμα
$8 \cdot 3 + 9 + 8 - (- 1) + 2 = 24 + 9 + 8 + 1 + 2 = 44$ .
4Μεσαίοga-7.8-m3
Υπολόγισε: 0,2 $5^{7}$ · 4 $0^{7}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$0, 2 5^{7} \cdot 4 0^{7} = (0, 25 \cdot 40)^{7} = 1 0^{7} = 10.000.000$ .
5Μεσαίοga-7.7-m1
Υπολόγισε: $3^{2}$ · $3^{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$3^{2} \cdot 3^{3} = 3^{5} = 243$ .
6Μεσαίοga-7.8-m1
Υπολόγισε: ( $2^{5}$ )².
Λύση βήμα-βήμα
$(2^{5})^{2} = 2$ ¹ $⁰ = 1024$ (δύναμη δύναμης: $\frac{πολ}{μ ο ˊ ς}$ εκθετών).
7Μεσαίοga-7.8-m2
Υπολόγισε: 5¹⁸ : 5¹⁵.
Λύση βήμα-βήμα
5¹⁸ : 5¹ $⁵ = 5^{3} = 125$ .
8Μεσαίοga-7.7-m2
Υπολόγισε: $1^{2}$ ¹ + $1^{8}$ − $2^{3}$ + $3^{2}$ + $2^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$1 + 1 - 8 + 9 + 4 = 7$ .
9Εύκολοga-7.8-e1
Γράψε το γινόμενο $2^{3}$ · $2^{5}$ ως μία δύναμη.
Λύση βήμα-βήμα
$2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{8}$ (ίδια βάση: αθροίζουμε εκθέτες).
10Εύκολοga-7.7-e3
Να βρεις το πρόσημο των: 3¹⁶, (−4)¹⁷, (−3)²⁰.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  3¹⁶: θετικό (θετική βάση).
2. 2
  (−4)¹⁷: αρνητικό (αρνητική βάση, περιττός εκθέτης).
3. 3
  (−3)²⁰: θετικό (αρνητική βάση, άρτιος εκθέτης).

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοga-7.8-m3
Υπολόγισε: 0,2 $5^{7}$ · 4 $0^{7}$ .
2Μεσαίοga-7.8-m1
Υπολόγισε: ( $2^{5}$ )².
3Μεσαίοga-7.8-m2
Υπολόγισε: 5¹⁸ : 5¹⁵.
4Μεσαίοga-7.7-m1
Υπολόγισε: $3^{2}$ · $3^{3}$ .
5Δύσκολοga-7.7-h1
Υπολόγισε: $4^{2}$ · ( $3^{2}$ − 7) + (3 · $2^{3}$ − $6^{2}$ : 9) · 2.
6Μεσαίοga-7.7-m3
Υπολόγισε: $2^{3}$ · 3 + $3^{2}$ + $4^{3}$ : 8 − (−1)¹³ + 2.
7Μεσαίοga-7.7-m2
Υπολόγισε: $1^{2}$ ¹ + $1^{8}$ − $2^{3}$ + $3^{2}$ + $2^{2}$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔋 Quiz · Δυνάμεις & Ρίζες

← Προηγούμενο

7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

Επόμενο →

7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο