Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά›6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

§6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔄Ορισμός

•
Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν, καθώς το ένα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, το άλλο διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.
💡 Παράδειγμα:
Σε ορθογώνιο με σταθερό εμβαδόν 12 $m^{2}$ : αν διπλασιαστεί το μήκος, υποδιπλασιάζεται το πλάτος.
•
Δύο ποσά $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό: $y \cdot x = α (σταθερ \overset{ο}{ˊ}, α \neq = 0)$
💡 Παράδειγμα:
$Αν x = 5, y = 6 και x \cdot y = 30, τ \overset{ο}{ˊ} τε \overset{ο}{ˊ} ταν x = 15, y = 2 (αφο \overset{υ}{ˊ} 15 \cdot 2 = 30) .$
❓ Γιατί:Στα ανάλογα ποσά το πηλίκο $\frac{y}{x}$ είναι σταθερό. Στα αντιστρόφως ανάλογα, όσο μεγαλώνει το $x$ μικραίνει αντίστοιχα το $y$ , ώστε το γινόμενό τους να παραμένει σταθερό.
📎 Δες και:
•
Στην ειδική περίπτωση $α = 1$ , τα $x$ και $y$ είναι αντίστροφοι αριθμοί.
💡 Παράδειγμα:
$x = 4 και y = \frac{1}{4} (αφο \overset{υ}{ˊ} 4 \cdot \frac{1}{4} = 1) .$

🌀Γραφική παράσταση

•
Τα σημεία που παριστούν τα ζεύγη (x, $y$ ) αντιστρόφως αναλόγων ποσών βρίσκονται σε μία καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή.
•
Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx και Οy, διότι οι συντεταγμένες των σημείων της δεν παίρνουν ποτέ την τιμή 0.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το γινόμενο

x y

είναι σταθερό.

2Σωστό / Λάθος

Αν τα

x, y

είναι αντιστρόφως ανάλογα και το

x

τριπλασιαστεί, το

y

τριπλασιάζεται.

3Πολλαπλής επιλογής

Τα

x, y

είναι αντιστρόφως ανάλογα με

x y = 24

. Αν

x = 6

, τότε:

4Πολλαπλής επιλογής

4 εργάτες τελειώνουν μια δουλειά σε 6 μέρες. Σε πόσες μέρες την τελειώνουν 8 εργάτες;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-6.6-m3
Μια δεξαμενή γεμίζει από 6 όμοιες βρύσες σε 10 ώρες. α) Σε πόσες ώρες θα γεμίσει από 4 βρύσες; β) Πόσες βρύσες χρειάζονται για να γεμίσει σε 4 ώρες;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Οι βρύσες και οι ώρες είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, αφού όλες οι βρύσες έχουν την ίδια παροχή και η δεξαμενή είναι η ίδια.
2. 2
  Το σταθερό γινόμενο είναι $6 \cdot 10 = 60$ .
3. 3
  α) Με 4 βρύσες λύνουμε την εξίσωση $4 \cdot x = 60$ και βρίσκουμε $x = \frac{60}{4} = 15$ , δηλαδή 15 ώρες.
4. 4
  Λιγότερες βρύσες, περισσότερες ώρες, όπως το περιμέναμε.
5. 5
  β) Για να γεμίσει σε 4 ώρες λύνουμε την εξίσωση $x \cdot 4 = 60$ και βρίσκουμε $x = \frac{60}{4} = 15$ , δηλαδή 15 βρύσες.
6. 6
  Πρόσεξε ότι τα δύο ερωτήματα δίνουν τον ίδιο αριθμό αλλά σημαίνουν εντελώς διαφορετικά πράγματα: στο πρώτο το 15 μετράει ώρες και στο δεύτερο μετράει βρύσες.
7. 7
  Αυτό συμβαίνει επειδή και στις δύο περιπτώσεις ζητάμε το ίδιο σταθερό γινόμενο 60 μοιρασμένο στο 4.
2Μεσαίοga-6.6-m1
Να εξετάσεις ποιοι από τους παρακάτω πίνακες παριστάνουν αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Πίνακας Α: για $x = 2, 3, 6$ είναι $y = 18, 12, 6$ . Πίνακας Β: για $x = 2, 4, 5$ είναι $y = 20, 10, 8$ . Πίνακας Γ: για $x = 1, 2, 3$ είναι $y = 12, 11, 10$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ο έλεγχος γίνεται με το ΓΙΝΟΜΕΝΟ των αντίστοιχων τιμών, που πρέπει να βγαίνει πάντα το ίδιο.
2. 2
  Πίνακας Α: $2 \cdot 18 = 36, 3 \cdot 12 = 36$ και $6 \cdot 6 = 36$ .
3. 3
  Το γινόμενο είναι σταθερό, άρα τα ποσά ΕΙΝΑΙ αντιστρόφως ανάλογα με σταθερό γινόμενο 36.
4. 4
  Πίνακας Β: $2 \cdot 20 = 40, 4 \cdot 10 = 40$ και $5 \cdot 8 = 40$ .
5. 5
  Πάλι σταθερό, άρα και εδώ τα ποσά ΕΙΝΑΙ αντιστρόφως ανάλογα.
6. 6
  Πίνακας Γ: $1 \cdot 12 = 12, 2 \cdot 11 = 22$ και $3 \cdot 10 = 30$ .
7. 7
  Τα γινόμενα αλλάζουν, άρα τα ποσά ΔΕΝ είναι αντιστρόφως ανάλογα.
8. 8
  Πρόσεξε την παγίδα του πίνακα Γ: το $y$ όντως μικραίνει καθώς το $x$ μεγαλώνει, αυτό όμως από μόνο του ΔΕΝ αρκεί.
9. 9
  Χρειάζεται να μικραίνει με τον συγκεκριμένο ρυθμό που κρατά το γινόμενο σταθερό.
3Μεσαίοga-6.6-m2
Για να βαφτεί ένα κτίριο, 12 εργάτες χρειάζονται 15 ημέρες. Πόσοι εργάτες, ίδιας απόδοσης, χρειάζονται για να βαφτεί το ίδιο κτίριο σε 9 ημέρες;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ο αριθμός των εργατών και οι ημέρες είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, γιατί η δουλειά που πρέπει να γίνει είναι ορισμένη.
2. 2
  Το γινόμενό τους εκφράζει ακριβώς αυτή τη συνολική δουλειά και μένει σταθερό: $12 \cdot 15 = 180$ .
3. 3
  Ψάχνουμε πόσοι εργάτες χρειάζονται ώστε σε 9 ημέρες να γίνει η ίδια δουλειά, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση $x \cdot 9 = 180$ και βρίσκουμε $x = \frac{180}{9} = 20$ .
4. 4
  Χρειάζονται 20 εργάτες.
5. 5
  Κάνε πάντα και τον έλεγχο της λογικής: ζητάμε λιγότερες ημέρες, άρα περιμένουμε ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ εργάτες, και πράγματι οι 20 είναι περισσότεροι από τους 12.
6. 6
  Αν είχε βγει μικρότερος αριθμός, κάπου θα είχαμε κάνει λάθος.
4Εύκολοga-6.6-e2
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα και όταν $x = 4$ τότε $y = 15$ . α) Ποιο είναι το σταθερό γινόμενό τους; β) Πόσο είναι το $y$ όταν $x = 10$ ; γ) Πόσο είναι το $x$ όταν $y = 5$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά σταθερό μένει το γινόμενο $x$ · $y$ .
2. 2
  Εδώ είναι $4 \cdot 15 = 60$ .
3. 3
  β) Για $x = 10$ το γινόμενο πρέπει πάλι να είναι 60, δηλαδή $10 \cdot y = 60$ , οπότε $y = \frac{60}{10} = 6$ .
4. 4
  γ) Για $y = 5$ πρέπει πάλι $x \cdot 5 = 60$ , οπότε $x = \frac{60}{5} = 12$ .
5. 5
  Παρατήρησε ότι κάθε φορά που το $x$ μεγαλώνει το $y$ μικραίνει, και μάλιστα ακριβώς όσο χρειάζεται για να μείνει το γινόμενο ίδιο.
5Εύκολοga-6.6-e1
Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ποσών είναι αντιστρόφως ανάλογα; Δικαιολόγησε την απάντησή σου. α) Ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος που χρειάζονται για να τελειώσει μια δουλειά. β) Ο αριθμός των τετραδίων και το συνολικό τους κόστος. γ) Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου και ο χρόνος για μια συγκεκριμένη διαδρομή. δ) Το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου με σταθερό εμβαδόν.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν το ΓΙΝΟΜΕΝΟ των αντίστοιχων τιμών τους μένει σταθερό, δηλαδή όταν το ένα μεγαλώνει και το άλλο μικραίνει με τέτοιον ρυθμό ώστε το γινόμενο να μην αλλάζει.
2. 2
  α) ΝΑΙ.
3. 3
  Διπλάσιοι εργάτες τελειώνουν την ίδια δουλειά στον μισό χρόνο, και το γινόμενο εργάτες επί ώρες, που εκφράζει τη συνολική δουλειά, μένει το ίδιο.
4. 4
  β) ΟΧΙ, τα ποσά αυτά είναι ανάλογα: διπλάσια τετράδια, διπλάσιο κόστος.
5. 5
  Εδώ σταθερό μένει το πηλίκο και όχι το γινόμενο.
6. 6
  γ) ΝΑΙ.
7. 7
  Με διπλάσια ταχύτητα η ίδια διαδρομή γίνεται στον μισό χρόνο, και το γινόμενο ταχύτητα επί χρόνο, που εκφράζει την απόσταση, μένει το ίδιο.
8. 8
  δ) ΝΑΙ.
9. 9
  Το γινόμενο μήκος επί πλάτος είναι το εμβαδόν, που εδώ είναι σταθερό, οπότε αν το μήκος τριπλασιαστεί, το πλάτος γίνεται το ένα τρίτο.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοga-6.6-h2
Το πετρέλαιο που υπάρχει στη δεξαμενή μιας πολυκατοικίας φτάνει για 40 ημέρες, όταν καταναλώνονται 60 λίτρα την ημέρα. Επειδή δυνάμωσε το κρύο, η ημερήσια κατανάλωση αυξήθηκε κατά 25%. Για πόσες ημέρες θα φτάσει τώρα το πετρέλαιο;
2Δύσκολοga-6.6-h1
Σε ένα συσκευαστήριο τοποθέτησαν πορτοκάλια σε 60 τελάρα των 15 κιλών το καθένα. α) Πόσα τελάρα των 20 κιλών θα χρειάζονταν για την ίδια ποσότητα; β) Αν κάθε τελάρο των 15 κιλών κοστίζει 0,30 ευρώ και κάθε τελάρο των 20 κιλών 0,45 ευρώ, ποια συσκευασία συμφέρει;
3Μεσαίοga-6.6-m2
Για να βαφτεί ένα κτίριο, 12 εργάτες χρειάζονται 15 ημέρες. Πόσοι εργάτες, ίδιας απόδοσης, χρειάζονται για να βαφτεί το ίδιο κτίριο σε 9 ημέρες;
4Μεσαίοga-6.6-m1
Να εξετάσεις ποιοι από τους παρακάτω πίνακες παριστάνουν αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Πίνακας Α: για $x = 2, 3, 6$ είναι $y = 18, 12, 6$ . Πίνακας Β: για $x = 2, 4, 5$ είναι $y = 20, 10, 8$ . Πίνακας Γ: για $x = 1, 2, 3$ είναι $y = 12, 11, 10$ .
5Μεσαίοga-6.6-m3
Μια δεξαμενή γεμίζει από 6 όμοιες βρύσες σε 10 ώρες. α) Σε πόσες ώρες θα γεμίσει από 4 βρύσες; β) Πόσες βρύσες χρειάζονται για να γεμίσει σε 4 ώρες;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Λόγοι, Αναλογίες, Ποσοστά & Ομοιότητα

← Προηγούμενο

6.5 Προβλήματα αναλογιών

Επόμενο →

7.1 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί - Η ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου