Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά›6.5 Προβλήματα αναλογιών

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

§6.5 Προβλήματα αναλογιών

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔍Πώς ελέγχουμε αν δύο ποσά είναι ανάλογα

•
1ος τρόπος (ορισμός): Όταν πολλαπλασιάζουμε τις τιμές του ενός ποσού με αριθμό, πολλαπλασιάζονται και του άλλου με τον ίδιο.
💡 Παράδειγμα:
$Αν 15 = 5 \cdot 3 και 21 = 7 \cdot 3, τ \overset{ο}{ˊ} τε τ α ζε \overset{υ}{ˊ} γη (5, 7) και (15, 21) ε \overset{ι}{ˊ} ναι αν \overset{α}{ˊ} λογα .$
•
2ος τρόπος (σχέση $y = α \cdot x$ ): Ελέγχουμε αν τα δύο ποσά συνδέονται με σχέση αναλογίας.
💡 Παράδειγμα:
$Κ \overset{ο}{ˊ} στος ανθοδ \overset{ε}{ˊ} σμης = 0, 5 \cdot αριθμ \overset{ο}{ˊ} ς τριαντ \overset{α}{ˊ} φυλλων (α = 0, 5) .$
•
3ος τρόπος (σταθερός λόγος $\frac{y}{x} = α$ ): Όλα τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών έχουν το ίδιο πηλίκο.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{6}{3} = 2, \frac{11}{5}, 5 = 2 \to λ \overset{ο}{ˊ} γος σταθερ \overset{ο}{ˊ} ς 2, \overset{α}{ˊ} ρα αν \overset{α}{ˊ} λογα .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε αναλογικό πρόβλημα, αν διπλασιαστεί η ποσότητα διπλασιάζεται και το κόστος.

2Σωστό / Λάθος

Όσο περισσότεροι εργάτες δουλεύουν, τόσο περισσότερος χρόνος χρειάζεται (ανάλογα ποσά).

3Πολλαπλής επιλογής

5 τετράδια κοστίζουν 10€. Πόσο κοστίζουν 8 τετράδια;

4Πολλαπλής επιλογής

Αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα κάνει 180 km σε 2 ώρες. Πόσα km σε 3 ώρες;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-6.5-m3
Δύο συνεργάτες πήραν μαζί 84 ευρώ για μια δουλειά. Ο πρώτος εργάστηκε 3 ώρες και ο δεύτερος 4 ώρες, και συμφώνησαν να μοιράσουν τα χρήματα ανάλογα με τις ώρες που δούλεψε ο καθένας. Πόσα ευρώ παίρνει ο καθένας;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το να μοιράσουν τα χρήματα ανάλογα με τις ώρες σημαίνει ότι κάθε ώρα εργασίας πληρώνεται το ίδιο.
2. 2
  Οι συνολικές ώρες είναι $3 + 4 = 7$ .
3. 3
  Άρα η αμοιβή της μίας ώρας είναι $\frac{84}{7} = 12$ ευρώ.
4. 4
  Ο πρώτος δούλεψε 3 ώρες, οπότε παίρνει $3 \cdot 12 = 36$ ευρώ, και ο δεύτερος δούλεψε 4 ώρες, οπότε παίρνει $4 \cdot 12 = 48$ ευρώ.
5. 5
  Κάνουμε δύο ελέγχους.
6. 6
  Πρώτον, το άθροισμα $36 + 48 = 84$ ευρώ, όσα ήταν και τα χρήματα της δουλειάς.
7. 7
  Δεύτερον, ο λόγος των αμοιβών $\frac{36}{48}$ απλοποιείται με το 12 και δίνει $\frac{3}{4}$ , δηλαδή είναι ο ίδιος με τον λόγο των ωρών.
2Μεσαίοga-6.5-m1
Το βάρος ενός σώματος στη Σελήνη και το βάρος του στη Γη είναι ανάλογα ποσά. Ένας αστροναύτης που στη Γη ζυγίζει 90 κιλά, στη Σελήνη ζυγίζει 15 κιλά. α) Βρες τον συντελεστή αναλογίας που μετατρέπει το βάρος στη Γη σε βάρος στη Σελήνη. β) Πόσο ζυγίζει στη Σελήνη ένα παιδί που στη Γη ζυγίζει 48 κιλά;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) Ο συντελεστής είναι το σταθερό πηλίκο του βάρους στη Σελήνη προς το βάρος στη Γη, δηλαδή $\frac{15}{90}$ .
2. 2
  Απλοποιούμε με το 15 και βρίσκουμε $\frac{1}{6}$ .
3. 3
  Με απλά λόγια, στη Σελήνη κάθε σώμα ζυγίζει το ένα έκτο από όσο ζυγίζει στη Γη.
4. 4
  β) Πολλαπλασιάζουμε το βάρος στη Γη με τον συντελεστή: $48 \cdot \frac{1}{6} = 8$ .
5. 5
  Το παιδί ζυγίζει 8 κιλά στη Σελήνη.
6. 6
  Επαλήθευση με το σταθερό πηλίκο: $\frac{8}{48}$ απλοποιείται σε $\frac{1}{6}$ , ίδιο με το $\frac{15}{90}$ του αστροναύτη.
3Μεσαίοga-6.5-m2
Από 120 κιλά ελιές βγαίνουν 27 κιλά λάδι. Ένας παραγωγός θέλει να γεμίσει 5 δοχεία των 18 κιλών λάδι το καθένα. Πόσα κιλά ελιές πρέπει να μαζέψει;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Βρίσκουμε πρώτα πόσο λάδι χρειάζεται συνολικά: $5 \cdot 18 = 90$ κιλά.
2. 2
  Τα κιλά ελιές και τα κιλά λάδι είναι ανάλογα ποσά, αφού η ποιότητα των ελιών είναι η ίδια.
3. 3
  Γράφουμε λοιπόν την αναλογία $\frac{120}{27} = \frac{x}{90}$ , όπου $x$ τα κιλά ελιές που ψάχνουμε.
4. 4
  Με χιαστί γινόμενα: $27 \cdot x = 120 \cdot 90 = 10.800$ , άρα $x = \frac{10.800}{27} = 400$ .
5. 5
  Ο παραγωγός πρέπει να μαζέψει 400 κιλά ελιές.
6. 6
  Επαλήθευση: από 400 κιλά ελιές βγαίνουν $400 \cdot \frac{27}{120} = 90$ κιλά λάδι, ακριβώς όσα χρειαζόμαστε.
4Εύκολοga-6.5-e2
Για 4 κιλά μήλα πληρώνουμε 5,20 ευρώ. Πόσο θα πληρώσουμε για 7 κιλά από τα ίδια μήλα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Τα κιλά και το ποσό είναι ανάλογα ποσά, γιατί όλα τα μήλα έχουν την ίδια τιμή.
2. 2
  Βρίσκουμε πρώτα πόσο κοστίζει το ένα κιλό, δηλαδή τον συντελεστή αναλογίας: $5, \frac{20}{4} = 1, 30$ ευρώ το κιλό.
3. 3
  Μετά πολλαπλασιάζουμε με τα 7 κιλά: $7 \cdot 1, 30 = 9, 10$ ευρώ.
4. 4
  Υπάρχει και δεύτερος δρόμος, χωρίς να βρούμε την τιμή του ενός κιλού: τα 7 κιλά είναι $\frac{7}{4}$ φορές τα 4 κιλά, οπότε και το ποσό γίνεται $\frac{7}{4}$ φορές μεγαλύτερο, δηλαδή $5, 20 \cdot \frac{7}{4} = 9, 10$ ευρώ.
5. 5
  Και οι δύο δρόμοι στηρίζονται στο ίδιο πράγμα, ότι το πηλίκο ποσό προς κιλά μένει σταθερό.
5Εύκολοga-6.5-e1
Ένας στύλος ύψους 2 $m$ ρίχνει σκιά μήκους 5 $m$ . Την ίδια ώρα ένα δέντρο ρίχνει σκιά 20 $m$ . Αν το ύψος και η σκιά είναι ανάλογα ποσά, πόσο είναι το ύψος του δέντρου;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Την ίδια ώρα ο ήλιος έχει την ίδια κλίση για όλα τα αντικείμενα, και για αυτόν τον λόγο το ύψος και η σκιά είναι ανάλογα ποσά, δηλαδή το πηλίκο τους μένει σταθερό.
2. 2
  Για τον στύλο το πηλίκο ύψους προς σκιά είναι $\frac{2}{5}$ .
3. 3
  Το ίδιο πηλίκο ισχύει και για το δέντρο, οπότε γράφουμε την αναλογία $\frac{2}{5} = \frac{x}{20}$ , όπου $x$ το ύψος του δέντρου.
4. 4
  Με χιαστί γινόμενα: $5 \cdot x = 2 \cdot 20 = 40$ , άρα $x = 8$ .
5. 5
  Το δέντρο έχει ύψος 8 $m$ . Πρόσεξε πόσο χρήσιμο είναι αυτό στην πράξη: μετράμε με ένα μέτρο τη σκιά, που είναι στο έδαφος, και βρίσκουμε ένα ύψος που δεν μπορούμε να φτάσουμε.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοga-6.5-h2
Ο Νίκος αγόρασε 4 κουτιά με 6 μολύβια το καθένα και πλήρωσε 7,20 ευρώ. Η Μαρία αγόρασε από τα ίδια μολύβια 3 κουτιά με 10 μολύβια το καθένα. α) Πόσο κοστίζει ένα μολύβι; β) Πόσα ευρώ πλήρωσε η Μαρία; γ) Ένα τρίτο κατάστημα πουλάει κουτιά με 8 μολύβια προς 2,80 ευρώ το κουτί. Συμφέρει περισσότερο από το κατάστημα όπου ψώνισε ο Νίκος;
2Δύσκολοga-6.5-h1
Το νερό μιας αλυκής περιέχει αλάτι σε ποσοστό 4%. α) Πόσα κιλά αλάτι υπάρχουν σε 150 κιλά από αυτό το νερό; β) Πόσα κιλά από αυτό το νερό πρέπει να οδηγήσουμε στις δεξαμενές, για να πάρουμε 30 κιλά αλάτι; γ) Ένας μαθητής είπε ότι, για να πάρει διπλάσιο αλάτι από την ΙΔΙΑ αλυκή, πρέπει να διπλασιαστεί το ποσοστό του αλατιού. Πού κάνει λάθος;
3Μεσαίοga-6.5-m2
Από 120 κιλά ελιές βγαίνουν 27 κιλά λάδι. Ένας παραγωγός θέλει να γεμίσει 5 δοχεία των 18 κιλών λάδι το καθένα. Πόσα κιλά ελιές πρέπει να μαζέψει;
4Μεσαίοga-6.5-m1
Το βάρος ενός σώματος στη Σελήνη και το βάρος του στη Γη είναι ανάλογα ποσά. Ένας αστροναύτης που στη Γη ζυγίζει 90 κιλά, στη Σελήνη ζυγίζει 15 κιλά. α) Βρες τον συντελεστή αναλογίας που μετατρέπει το βάρος στη Γη σε βάρος στη Σελήνη. β) Πόσο ζυγίζει στη Σελήνη ένα παιδί που στη Γη ζυγίζει 48 κιλά;
5Μεσαίοga-6.5-m3
Δύο συνεργάτες πήραν μαζί 84 ευρώ για μια δουλειά. Ο πρώτος εργάστηκε 3 ώρες και ο δεύτερος 4 ώρες, και συμφώνησαν να μοιράσουν τα χρήματα ανάλογα με τις ώρες που δούλεψε ο καθένας. Πόσα ευρώ παίρνει ο καθένας;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Λόγοι, Αναλογίες, Ποσοστά & Ομοιότητα

← Προηγούμενο

6.4 Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας

Επόμενο →

6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά