Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά›6.4 Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

§6.4 Γραφική παράσταση αναλογίας

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📈Σχέση αναλογίας στο επίπεδο

•
Τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x, $y$ ) δύο αναλόγων ποσών $(y = α \cdot x)$ βρίσκονται πάνω σε μία ημιευθεία.
💡 Παράδειγμα:
$Για y = 3 x : τ α ζε \overset{υ}{ˊ} γη (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9), \dots βρ \overset{ι}{ˊ} σκονται στην \overset{ι}{ˊ} δια ημ ιευθε \overset{ι}{ˊ} α .$
•
Η ημιευθεία αυτή ξεκινά πάντα από την αρχή των ημιαξόνων Ο(0, 0).
•
Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αναλογίας α, τόσο πιο «απότομη» (κάθετη) είναι η ευθεία.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η γραφική παράσταση δύο αναλόγων ποσών

y = α x

διέρχεται από την αρχή

O (0, 0)

2Σωστό / Λάθος

Τα σημεία δύο αναλόγων ποσών σχηματίζουν καμπύλη γραμμή.

3Πολλαπλής επιλογής

Για

y = 3 x

, ποιο σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση;

4Πολλαπλής επιλογής

Όσο μεγαλύτερος ο συντελεστής αναλογίας

α

, η ευθεία γίνεται:

5Πολλαπλής επιλογής

Από ποιο σημείο ξεκινά πάντα η ημιευθεία της σχέσης αναλογίας;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-6.4-m3
Ένα ταξί χρεώνει 0,8 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο, χωρίς πάγιο. α) Γράψε τη σχέση που συνδέει το ποσό $y$ με τα χιλιόμετρα $x$ . β) Είναι τα δύο ποσά ανάλογα; γ) Γράψε τρία σημεία της γραφικής παράστασης. δ) Αν το ταξί είχε επιπλέον πάγιο 1,5 ευρώ, θα ήταν πάλι ανάλογα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το ποσό είναι η χρέωση του ενός χιλιομέτρου επί τα χιλιόμετρα, δηλαδή $y = 0, 8 \cdot x$ .
2. 2
  β) ΝΑΙ.
3. 3
  Η σχέση έχει τη μορφή $y = α \cdot x$ με συντελεστή 0,8, και το πηλίκο $\frac{y}{x}$ βγαίνει πάντα 0,8.
4. 4
  γ) Δίνουμε τιμές στο $x$ : για $x = 0$ είναι $y = 0$ , για $x = 5$ είναι $y = 0, 8 \cdot 5 = 4$ και για $x = 10$ είναι $y = 0, 8 \cdot 10 = 8$ .
5. 5
  Τα σημεία είναι τα (0, 0), (5, 4) και (10, 8).
6. 6
  δ) ΟΧΙ.
7. 7
  Με πάγιο η σχέση γίνεται $y = 0, 8 \cdot x + 1, 5$ .
8. 8
  Για $x = 0$ πληρώνουμε 1,5 ευρώ, δηλαδή η γραμμή ΔΕΝ ξεκινά πια από την αρχή.
9. 9
  Ούτε το πηλίκο μένει σταθερό: για 5 χιλιόμετρα πληρώνουμε 5,5 ευρώ και $5, \frac{5}{5} = 1, 1$ .
10. 10
  Για 10 χιλιόμετρα πληρώνουμε 9,5 ευρώ και $9, \frac{5}{10} = 0, 95$ .
11. 11
  Η γραφική παράσταση παραμένει ευθεία γραμμή, δεν είναι όμως σχέση αναλογίας.
2Μεσαίοga-6.4-m1
Δίνονται τρεις πίνακες τιμών. Πίνακας Α: για $x = 2, 4, 6$ είναι $y = 5, 10, 15$ . Πίνακας Β: για $x = 2, 4, 6$ είναι $y = 6, 12, 18$ . Πίνακας Γ: για $x = 2, 4, 6$ είναι $y = 7, 11, 15$ . α) Αντιστοίχισε κάθε πίνακα με έναν από τους τύπους $y = 3 \cdot x, y = 2, 5 \cdot x$ και $y = 2 \cdot x + 3$ . β) Ποιοι από τους τρεις πίνακες παριστάνουν ανάλογα ποσά;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Δοκιμάζουμε πρώτα ένα ζευγάρι από κάθε πίνακα και μετά επαληθεύουμε στα υπόλοιπα.
2. 2
  Πίνακας Α: το πηλίκο είναι $\frac{5}{2} = 2, 5$ , οπότε δοκιμάζουμε τον τύπο $y = 2, 5 \cdot x$ .
3. 3
  Πράγματι $2, 5 \cdot 4 = 10$ και $2, 5 \cdot 6 = 15$ .
4. 4
  Πίνακας Β: το πηλίκο είναι $\frac{6}{2} = 3$ , οπότε δοκιμάζουμε τον τύπο $y = 3 \cdot x$ .
5. 5
  Πράγματι $3 \cdot 4 = 12$ και $3 \cdot 6 = 18$ .
6. 6
  Πίνακας Γ: μένει ο τύπος $y = 2 \cdot x + 3$ και επαληθεύεται, γιατί $2 \cdot 2 + 3 = 7, 2 \cdot 4 + 3 = 11$ και $2 \cdot 6 + 3 = 15$ .
7. 7
  β) Ανάλογα ποσά παριστάνουν ΜΟΝΟ οι πίνακες Α και Β, γιατί μόνο εκεί το πηλίκο $\frac{y}{x}$ είναι σταθερό, 2,5 και 3 αντίστοιχα, και μόνο εκεί ο τύπος έχει τη μορφή $y = α \cdot x$ .
8. 8
  Ο πίνακας Γ δεν παριστάνει ανάλογα ποσά: $\frac{7}{2} = 3, 5$ .
9. 9
  Στο επόμενο ζευγάρι όμως $\frac{11}{4} = 2, 75$ .
10. 10
  Η γραφική του παράσταση είναι επίσης ευθεία γραμμή, όμως ΔΕΝ περνά από την αρχή, αφού για $x = 0$ δίνει $y = 3$ .
3Μεσαίοga-6.4-m2
Στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων παριστάνουμε τις σχέσεις $y = 2 \cdot x, y = 5 \cdot x$ και $y = 0, 5 \cdot x$ . α) Ποια γραμμή είναι η πιο απότομη και ποια η πιο ξαπλωτή; β) Έχουν οι τρεις γραμμές κάποιο κοινό σημείο; γ) Ποια από τις τρεις περνά από το σημείο (4, 2);
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αναλογίας, τόσο πιο απότομα ανεβαίνει η γραμμή, γιατί για την ίδια αύξηση του $x$ το $y$ ανεβαίνει περισσότερο.
2. 2
  Ο μεγαλύτερος συντελεστής εδώ είναι το 5, άρα η πιο απότομη είναι η γραμμή της σχέσης $y = 5 \cdot x$ .
3. 3
  Ο μικρότερος είναι το 0,5, άρα η πιο ξαπλωτή είναι η γραμμή της σχέσης $y = 0, 5 \cdot x$ .
4. 4
  β) ΝΑΙ, την αρχή Ο(0, 0).
5. 5
  Κάθε γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας ξεκινά από την αρχή, οπότε το Ο είναι κοινό σημείο και των τριών γραμμών.
6. 6
  γ) Ελέγχουμε ποια σχέση επαληθεύεται από το ζεύγος (4, 2).
7. 7
  Για την πρώτη: $2 \cdot 4 = 8$ .
8. 8
  Δεν βγήκε 2.
9. 9
  Για τη δεύτερη: $5 \cdot 4 = 20$ .
10. 10
  Ούτε εδώ βγήκε 2.
11. 11
  Για την τρίτη: $0, 5 \cdot 4 = 2$ , σωστό.
12. 12
  Άρα το σημείο ανήκει στη γραμμή της σχέσης $y = 0, 5 \cdot x$ .
4Εύκολοga-6.4-e2
Τα σημεία (1, 6), (2, 12) και (4, 24) ανήκουν στη γραφική παράσταση δύο αναλόγων ποσών. α) Βρες τον συντελεστή αναλογίας. β) Γράψε τη σχέση των δύο ποσών. γ) Ποιο σημείο της γραμμής έχει τετμημένη 10;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ο συντελεστής αναλογίας είναι το σταθερό πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη.
2. 2
  Ελέγχουμε και τα τρία σημεία: $\frac{6}{1} = 6, \frac{12}{2} = 6$ και $\frac{24}{4} = 6$ .
3. 3
  Το πηλίκο βγαίνει παντού 6, άρα ο συντελεστής είναι 6.
4. 4
  β) Η σχέση είναι $y = 6 \cdot x$ .
5. 5
  γ) Για τετμημένη 10 η τεταγμένη είναι $y = 6 \cdot 10 = 60$ , άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (10, 60).
5Εύκολοga-6.4-e1
Δίνεται η σχέση αναλογίας $y = 4 \cdot x$ . α) Ποια από τα σημεία Α(2, 8), Β(3, 7) και Γ(5, 20) ανήκουν στη γραφική της παράσταση; β) Από ποιο σημείο ξεκινά πάντα η γραμμή αυτή;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση όταν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τη σχέση, δηλαδή όταν βάζοντας την τετμημένη στη θέση του $x$ βγαίνει ακριβώς η τεταγμένη.
2. 2
  Για το Α: $4 \cdot 2 = 8$ .
3. 3
  Αυτό είναι ακριβώς η τεταγμένη του, άρα ΑΝΗΚΕΙ.
4. 4
  Για το Β: $4 \cdot 3 = 12$ .
5. 5
  Η τεταγμένη του όμως είναι 7, άρα ΔΕΝ ανήκει.
6. 6
  Για το Γ: $4 \cdot 5 = 20$ .
7. 7
  Αυτό είναι ακριβώς η τεταγμένη του, άρα ΑΝΗΚΕΙ.
8. 8
  β) Η γραφική παράσταση κάθε σχέσης αναλογίας είναι ημιευθεία που ξεκινά από την αρχή των ημιαξόνων, το Ο(0, 0).
9. 9
  Ο λόγος φαίνεται από την ίδια τη σχέση.
10. 10
  Πρώτον, για $x = 0$ βγαίνει $y = 4 \cdot 0 = 0$ , δηλαδή το σημείο (0, 0) ανήκει πάντα.
11. 11
  Δεύτερον, κάθε φορά που το $x$ μεγαλώνει κατά 1, το $y$ μεγαλώνει κατά 4, το ίδιο ακριβώς κάθε φορά.
12. 12
  Τα σημεία ανεβαίνουν λοιπόν με σταθερό βήμα, και ένα τέτοιο σύνολο σημείων σχηματίζει ευθεία γραμμή.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοga-6.4-h2
Ένα σχολείο διαθέτει 1.800 ευρώ για να αγοράσει μπάλες, στρώματα και ρακέτες. Κάθε μπάλα κοστίζει 15 ευρώ, κάθε στρώμα 60 ευρώ και κάθε ρακέτα 30 ευρώ. α) Γράψε για κάθε είδος τη σχέση που συνδέει το ποσό $y$ με το πλήθος $x$ . β) Αν παραστήσουμε και τις τρεις σχέσεις στο ίδιο σύστημα, ποια γραμμή θα είναι η πιο απότομη και τι σημαίνει αυτό; γ) Το σχολείο αποφασίζει να διαθέσει το ίδιο ποσό σε κάθε είδος. Πόσα κομμάτια θα πάρει από το καθένα;
2Δύσκολοga-6.4-h1
Η γραφική παράσταση δύο αναλόγων ποσών περνά από το σημείο Α(8, 12). α) Βρες τον συντελεστή αναλογίας και τη σχέση των δύο ποσών. β) Ποιο από τα σημεία Β(10, 15) και Γ(6, 10) ανήκει στη γραμμή; γ) Το σημείο που ΔΕΝ ανήκει, βρίσκεται ΠΑΝΩ ή ΚΑΤΩ από τη γραμμή; δ) Μια δεύτερη σχέση αναλογίας έχει γραμμή που περνά από το σημείο Δ(5, 20). Ποια από τις δύο γραμμές είναι πιο απότομη;
3Μεσαίοga-6.4-m2
Στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων παριστάνουμε τις σχέσεις $y = 2 \cdot x, y = 5 \cdot x$ και $y = 0, 5 \cdot x$ . α) Ποια γραμμή είναι η πιο απότομη και ποια η πιο ξαπλωτή; β) Έχουν οι τρεις γραμμές κάποιο κοινό σημείο; γ) Ποια από τις τρεις περνά από το σημείο (4, 2);
4Μεσαίοga-6.4-m1
Δίνονται τρεις πίνακες τιμών. Πίνακας Α: για $x = 2, 4, 6$ είναι $y = 5, 10, 15$ . Πίνακας Β: για $x = 2, 4, 6$ είναι $y = 6, 12, 18$ . Πίνακας Γ: για $x = 2, 4, 6$ είναι $y = 7, 11, 15$ . α) Αντιστοίχισε κάθε πίνακα με έναν από τους τύπους $y = 3 \cdot x, y = 2, 5 \cdot x$ και $y = 2 \cdot x + 3$ . β) Ποιοι από τους τρεις πίνακες παριστάνουν ανάλογα ποσά;
5Μεσαίοga-6.4-m3
Ένα ταξί χρεώνει 0,8 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο, χωρίς πάγιο. α) Γράψε τη σχέση που συνδέει το ποσό $y$ με τα χιλιόμετρα $x$ . β) Είναι τα δύο ποσά ανάλογα; γ) Γράψε τρία σημεία της γραφικής παράστασης. δ) Αν το ταξί είχε επιπλέον πάγιο 1,5 ευρώ, θα ήταν πάλι ανάλογα;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

6.3 Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες αναλόγων ποσών

Επόμενο →

6.5 Προβλήματα αναλογιών