Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά›6.3 Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες αναλόγων ποσών

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

§6.3 Ανάλογα ποσά

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔗Ορισμός αναλόγων ποσών

•
Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν μεταβάλλονται έτσι ώστε, όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.
💡 Παράδειγμα:
Τιμή καρπουζιών (0,4€/κιλό): 1 κιλό → 0,4€, 5 κιλά → 2€, 10 κιλά → 4€ — διπλασιασμός κιλών = διπλασιασμός τιμής.
•
Δύο ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα όταν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν πάντα σταθερό πηλίκο. Το πηλίκο αυτό λέγεται συντελεστής αναλογίας. $\frac{y}{x} = α (σταθερ \overset{ο}{ˊ})$
💡 Παράδειγμα:
$Στα καρπο \overset{υ}{ˊ} ζια : \frac{y}{x} = 0, 4 (σταθερ \overset{α}{ˊ}) \to α = 0, 4€/ κιλ \overset{ο}{ˊ} .$

📐Σχέση αναλογίας

•
Τα ανάλογα ποσά $x$ και $y$ συνδέονται με τη σχέση: $y = α \cdot x$
💡 Παράδειγμα:
$Τιμ \overset{η}{ˊ} = 0, 4 \cdot κιλ \overset{α}{ˊ} .$
$Για 7 κιλ \overset{α}{ˊ} : τιμ \overset{η}{ˊ} = 0, 4 \cdot 7 = 2, 8€.$
▶️ Σημεία (1, α), (2, 2α), (3, 3α)… σχηματίζουν ευθεία διά της αρχής Ο
y = 2xκλίση α = 2
Σύρε το ● για την κλίση α, το ● για την τομή με τον y′y (β).
❓ Γιατί:Αν το πηλίκο $\frac{y}{x}$ είναι σταθερό $(= α)$ , λύνοντας ως προς $y$ προκύπτει $y = α \cdot x$ . Είναι η ίδια σχέση γραμμένη με δύο τρόπους.
📎 Δες και:
•
Όταν το $y$ είναι ποσοστό α% του $x$ , τα δύο ποσά είναι ανάλογα με συντελεστή $\frac{α}{100}$ . $y = (\frac{α}{100}) \cdot x$
💡 Παράδειγμα:
$ΦΠΑ 24$
•
Διπλασιασμός / τριπλασιασμός / κ.ο.κ. του ενός ποσού επιφέρει αντίστοιχα διπλασιασμό / τριπλασιασμό / κ.ο.κ. του άλλου.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε ανάλογα ποσά, το πηλίκο

\frac{y}{x}

είναι σταθερό.

2Σωστό / Λάθος

Αν τα

x, y

είναι ανάλογα και το

x

διπλασιαστεί, το

y

υποδιπλασιάζεται.

3Πολλαπλής επιλογής

Τα

x, y

είναι ανάλογα με

y = 3 x

. Αν

x = 4

, τότε:

4Πολλαπλής επιλογής

Αν 4 κιλά κοστίζουν 12€, πόσο κοστίζουν 7 κιλά (ανάλογα);

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-6.3-m3
Σε ένα κατάστημα όλα τα προϊόντα πωλούνται με έκπτωση 15%. α) Είναι ανάλογα η αρχική τιμή ενός προϊόντος και το ποσό της έκπτωσης; β) Πόση έκπτωση έχει ένα προϊόν με αρχική τιμή 240 ευρώ; γ) Ένα άλλο προϊόν είχε έκπτωση 27 ευρώ. Ποια ήταν η αρχική του τιμή;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΝΑΙ.
2. 2
  Έκπτωση 15% σημαίνει ότι το ποσό της έκπτωσης είναι τα 15 εκατοστά της αρχικής τιμής.
3. 3
  Αν συμβολίσουμε με $x$ την αρχική τιμή και με $y$ το ποσό της έκπτωσης, ισχύει $y = \frac{15}{100} \cdot x$ , δηλαδή $y = 0, 15 \cdot x$ .
4. 4
  Αυτή είναι ακριβώς σχέση αναλογίας, με συντελεστή 0,15 τον ίδιο για όλα τα προϊόντα του καταστήματος.
5. 5
  β) Η έκπτωση είναι $0, 15 \cdot 240 = 36$ ευρώ.
6. 6
  Ισοδύναμα: το 1% των 240 είναι 2,4 ευρώ, άρα το 15% είναι $15 \cdot 2, 4 = 36$ ευρώ.
7. 7
  γ) Τώρα ξέρουμε την έκπτωση και ψάχνουμε την αρχική τιμή, δηλαδή διαβάζουμε τη σχέση ανάποδα.
8. 8
  Το 15% της αρχικής τιμής είναι 27 ευρώ, άρα το 1% είναι $\frac{27}{15} = 1, 8$ ευρώ και το 100%, δηλαδή ολόκληρη η αρχική τιμή, είναι $100 \cdot 1, 8 = 180$ ευρώ.
9. 9
  Επαλήθευση: $0, 15 \cdot 180 = 27$ .
2Μεσαίοga-6.3-m1
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σου. α) Αν δύο ποσά είναι ανάλογα και τετραπλασιάσουμε το ένα, τετραπλασιάζεται και το άλλο. β) Αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε το άθροισμα των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό. γ) Το πλήθος των εισιτηρίων που αγοράζουμε και το συνολικό ποσό που πληρώνουμε είναι ανάλογα ποσά.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΣΩΣΤΗ.
2. 2
  Αυτός είναι ακριβώς ο ορισμός των αναλόγων ποσών: όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου.
3. 3
  Φαίνεται και από τη σχέση $y = α \cdot x$ : αν το $x$ γίνει τετραπλάσιο, το γινόμενο γίνεται $α \cdot 4 \cdot x$ , δηλαδή τετραπλάσιο $y$ .
4. 4
  β) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
5. 5
  Σταθερό μένει το ΠΗΛΙΚΟ, όχι το άθροισμα.
6. 6
  Δες ένα παράδειγμα με συντελεστή 3: τα ζευγάρια (1, 3) και (2, 6) ανήκουν στα ίδια ανάλογα ποσά, όμως τα αθροίσματά τους είναι 4 και 8, δηλαδή διαφορετικά.
7. 7
  γ) ΣΩΣΤΗ, με την προϋπόθεση ότι όλα τα εισιτήρια κοστίζουν το ίδιο.
8. 8
  Τότε το συνολικό ποσό είναι η τιμή του ενός εισιτηρίου επί το πλήθος, δηλαδή σχέση της μορφής $y = α \cdot x$ .
9. 9
  Αν όμως υπήρχε και ένα πάγιο κόστος κράτησης, τα δύο ποσά δεν θα ήταν πια ανάλογα.
3Μεσαίοga-6.3-m2
Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ποσών είναι ανάλογα; Δικαιολόγησε κάθε απάντηση. α) Ο αριθμός των τετραδίων και το συνολικό ποσό που πληρώνουμε για αυτά. β) Η ηλικία ενός μαθητή και το ύψος του. γ) Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του. δ) Η πλευρά ενός τετραγώνου και το εμβαδόν του.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΑΝΑΛΟΓΑ.
2. 2
  Αν το ένα τετράδιο κοστίζει ορισμένο ποσό, το συνολικό ποσό είναι το ποσό αυτό επί το πλήθος, δηλαδή σχέση αναλογίας: διπλάσια τετράδια, διπλάσιο ποσό.
3. 3
  β) ΔΕΝ είναι ανάλογα.
4. 4
  Ένα παιδί 12 ετών δεν έχει διπλάσιο ύψος από ένα παιδί 6 ετών.
5. 5
  Τα δύο μεγέθη όντως μεγαλώνουν μαζί, όμως ο ορισμός δεν ζητά απλώς να μεγαλώνουν μαζί, ζητά ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΗΛΙΚΟ, και εδώ το πηλίκο ύψος προς ηλικία αλλάζει συνέχεια.
6. 6
  γ) ΑΝΑΛΟΓΑ.
7. 7
  Η περίμετρος τετραγώνου δίνεται από τη σχέση $Π = 4 \cdot α$ .
8. 8
  Αυτή είναι ακριβώς σχέση αναλογίας με συντελεστή 4: διπλάσια πλευρά, διπλάσια περίμετρος.
9. 9
  δ) ΔΕΝ είναι ανάλογα, και εδώ είναι η πιο συνηθισμένη παγίδα του κεφαλαίου.
10. 10
  Το εμβαδόν δίνεται από τη σχέση $E = α \cdot α$ .
11. 11
  Δες τι γίνεται με διπλάσια πλευρά: από πλευρά 3 με εμβαδόν 9 πάμε σε πλευρά 6 με εμβαδόν 36, δηλαδή το εμβαδόν ΤΕΤΡΑΠΛΑΣΙΑΖΕΤΑΙ και δεν διπλασιάζεται.
12. 12
  Ούτε το πηλίκο μένει σταθερό: $\frac{9}{3} = 3$ .
13. 13
  Στη δεύτερη περίπτωση όμως $\frac{36}{6} = 6$ .
4Εύκολοga-6.3-e2
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα και όταν $x = 6$ τότε $y = 15$ . α) Βρες τον συντελεστή αναλογίας. β) Γράψε τη σχέση που συνδέει τα δύο ποσά. γ) Βρες την τιμή του $y$ όταν $x = 10$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ο συντελεστής αναλογίας είναι το σταθερό πηλίκο $\frac{y}{x}$ .
2. 2
  Εδώ είναι $\frac{15}{6}$ .
3. 3
  Απλοποιούμε με το 3 και βρίσκουμε $\frac{5}{2}$ , δηλαδή 2,5.
4. 4
  β) Η σχέση των αναλόγων ποσών έχει πάντα τη μορφή $y = α \cdot x$ , όπου α ο συντελεστής αναλογίας.
5. 5
  Εδώ γίνεται $y = 2, 5 \cdot x$ .
6. 6
  γ) Για $x = 10$ έχουμε $y = 2, 5 \cdot 10 = 25$ .
7. 7
  Επαλήθευση: $\frac{25}{10} = 2, 5$ , ίδιο πηλίκο με πριν, άρα το ζευγάρι ταιριάζει.
5Εύκολοga-6.3-e1
Να εξετάσεις αν τα ποσά κάθε πίνακα είναι ανάλογα. Πίνακας Α: για $x = 3, 5, 8$ οι αντίστοιχες τιμές είναι $y = 12, 20, 32$ . Πίνακας Β: για $x = 3, 5, 8$ οι αντίστοιχες τιμές είναι $y = 12, 20, 30$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν το πηλίκο των αντίστοιχων τιμών τους βγαίνει ΠΑΝΤΑ το ίδιο.
2. 2
  Ελέγχουμε λοιπόν το πηλίκο $\frac{y}{x}$ σε κάθε ζευγάρι.
3. 3
  Πίνακας Α: $\frac{12}{3} = 4, \frac{20}{5} = 4$ και $\frac{32}{8} = 4$ .
4. 4
  Το πηλίκο βγαίνει κάθε φορά 4, άρα τα ποσά ΕΙΝΑΙ ανάλογα, με συντελεστή αναλογίας 4, και συνδέονται με τη σχέση $y = 4 \cdot x$ .
5. 5
  Πίνακας Β: $\frac{12}{3} = 4$ και $\frac{20}{5} = 4$ , όμως $\frac{30}{8} = 3, 75$ .
6. 6
  Το τρίτο πηλίκο είναι διαφορετικό, άρα τα ποσά ΔΕΝ είναι ανάλογα.
7. 7
  Πρόσεξε ότι δεν αρκεί να ελέγξουμε ένα ή δύο ζευγάρια: αρκεί ΕΝΑ ζευγάρι να χαλάει τη σταθερότητα του πηλίκου για να πάψουν τα ποσά να είναι ανάλογα.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοga-6.3-h2
Μια συνταγή για 4 άτομα χρειάζεται 300 $g$ αλεύρι, 2 αυγά και 150 ml γάλα. α) Θέλουμε να φτιάξουμε την ίδια συνταγή για 10 άτομα. Ποιος είναι ο συντελεστής αναλογίας και πόσο από κάθε υλικό χρειαζόμαστε; β) Αν έχουμε μόνο 3 αυγά, για πόσα άτομα φτάνει η συνταγή; γ) Ένας μαθητής είπε ότι για 10 άτομα βάζει $300 + 10 = 310 g$ αλεύρι. Πού είναι το λάθος του;
2Δύσκολοga-6.3-h1
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα και για $x = 4$ είναι $y = 10$ . Να βρεις: α) την τιμή του $y$ όταν $x = 0$ , β) την τιμή του $y$ όταν $x = 1$ , γ) την τιμή του $x$ όταν $y = 45$ , δ) την τιμή του $y$ όταν $x = 0, 6$ .
3Μεσαίοga-6.3-m2
Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ποσών είναι ανάλογα; Δικαιολόγησε κάθε απάντηση. α) Ο αριθμός των τετραδίων και το συνολικό ποσό που πληρώνουμε για αυτά. β) Η ηλικία ενός μαθητή και το ύψος του. γ) Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του. δ) Η πλευρά ενός τετραγώνου και το εμβαδόν του.
4Μεσαίοga-6.3-m1
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σου. α) Αν δύο ποσά είναι ανάλογα και τετραπλασιάσουμε το ένα, τετραπλασιάζεται και το άλλο. β) Αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε το άθροισμα των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό. γ) Το πλήθος των εισιτηρίων που αγοράζουμε και το συνολικό ποσό που πληρώνουμε είναι ανάλογα ποσά.
5Μεσαίοga-6.3-m3
Σε ένα κατάστημα όλα τα προϊόντα πωλούνται με έκπτωση 15%. α) Είναι ανάλογα η αρχική τιμή ενός προϊόντος και το ποσό της έκπτωσης; β) Πόση έκπτωση έχει ένα προϊόν με αρχική τιμή 240 ευρώ; γ) Ένα άλλο προϊόν είχε έκπτωση 27 ευρώ. Ποια ήταν η αρχική του τιμή;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Λόγοι, Αναλογίες, Ποσοστά & Ομοιότητα

← Προηγούμενο

6.2 Λόγος δύο αριθμών - Αναλογία

Επόμενο →

6.4 Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας