Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά›6.2 Λόγος δύο αριθμών - Αναλογία

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

§6.2 Λόγος & Αναλογία

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

⚖️Λόγος & αναλογία

•
Το πηλίκο δύο αριθμών λέγεται και λόγος των αριθμών αυτών.
💡 Παράδειγμα:
$O λ \overset{ο}{ˊ} γος του 6 προς τ ο 4 ε \overset{ι}{ˊ} ναι \frac{6}{4} = \frac{3}{2} .$
•
Η ισότητα δύο λόγων ονομάζεται αναλογία. $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$
💡 Παράδειγμα:
$\frac{6}{4} = \frac{9}{6} ε \overset{ι}{ˊ} ναι αναλογ \overset{ι}{ˊ} α .$
•
Κάθε σχέση αναλογίας είναι ισοδύναμη με τη σχέση των «χιαστί γινομένων»:
$\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$ $⟺ α \cdot δ = β \cdot γ$
💡 Παράδειγμα:
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, γιατ \overset{ι}{ˊ} 2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 24.$

🗺️Κλίμακα & όμοια σχήματα

•
Κλίμακα ονομάζεται ο λόγος της απόστασης δύο σημείων μιας εικόνας προς την πραγματική απόσταση των αντίστοιχων σημείων (με την ίδια μονάδα μέτρησης).
💡 Παράδειγμα:
Σε χάρτη με κλίμακα 1:10.000.000, τα 2,4 cm αντιστοιχούν σε $24.000.000 cm = 240 km$ πραγματικής απόστασης.
•
Δύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα είναι σμίκρυνση ή μεγέθυνση του άλλου (με σταθερό λόγο των αντίστοιχων πλευρών).
•
Αν οι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράμμων είναι ίσοι, τότε είναι ίσοι και με τον λόγο των περιμέτρων τους.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στην αναλογία

\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}

ισχύει

α δ = β γ

2Σωστό / Λάθος

Ο λόγος

\frac{6}{8}

απλοποιείται στο

\frac{3}{4}

3Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την αναλογία

\frac{x}{6} = \frac{2}{3}

4Πολλαπλής επιλογής

Ο λόγος δύο αριθμών είναι

\frac{2}{5}

. Αν ο πρώτος είναι 10, ο δεύτερος είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-6.2-m3
Σε μια φωτογραφία ένα δέντρο έχει ύψος 5 cm, ενώ το πραγματικό του ύψος είναι 6 $m$ . Πόσες φορές έχει σμικρυνθεί το δέντρο στη φωτογραφία;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για να συγκρίνουμε δύο μήκη πρέπει πρώτα να τα φέρουμε στην ίδια μονάδα.
2. 2
  Μετατρέπουμε: $6 m = 6 \cdot 100 = 600 cm$ . Τώρα ψάχνουμε πόσες φορές χωράει το ύψος της φωτογραφίας μέσα στο πραγματικό ύψος, δηλαδή τον λόγο του πραγματικού προς το ύψος στη φωτογραφία: $\frac{600}{5} = 120$ .
3. 3
  Άρα το δέντρο έχει σμικρυνθεί 120 φορές, ή αλλιώς η φωτογραφία έχει κλίμακα 1:120.
4. 4
  Πρόσεξε τι θα γινόταν αν ξεχνούσαμε τη μετατροπή και γράφαμε $\frac{6}{5}$ : θα βγάζαμε 1,2 φορές, δηλαδή ότι το δέντρο είναι σχεδόν ίδιο σε μέγεθος με τη φωτογραφία του.
5. 5
  Η μονάδα δεν είναι λεπτομέρεια.
2Μεσαίοga-6.2-m1
Σε έναν χάρτη με κλίμακα 1:250.000 δύο πόλεις απέχουν 8 cm. Πόσα χιλιόμετρα απέχουν στην πραγματικότητα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η κλίμακα 1:250.000 σημαίνει ότι κάθε 1 cm του χάρτη αντιστοιχεί σε 250.000 cm της πραγματικότητας.
2. 2
  Επειδή οι δύο πόλεις απέχουν 8 cm στον χάρτη, η πραγματική τους απόσταση είναι $8 \cdot 250.000 = 2.000.000 cm$ . Μένει να τα μετατρέψουμε σε χιλιόμετρα.
3. 3
  Ξέρουμε ότι $1 m = 100 cm$ και $1 km = 1.000 m$ , άρα $1 km = 100.000 cm$ . Διαιρούμε λοιπόν και βρίσκουμε $2. \frac{000.000}{100.000} = 20$ .
4. 4
  Οι δύο πόλεις απέχουν 20 km. Πρόσεξε ότι η κλίμακα συγκρίνει δύο μήκη, οπότε δουλεύει μόνο όταν και τα δύο είναι μετρημένα στην ΙΔΙΑ μονάδα.
5. 5
  Εδώ δουλέψαμε από την αρχή ως το τέλος σε εκατοστά, και περάσαμε σε χιλιόμετρα μόνο στην τελευταία γραμμή, για να διαβάζεται η απάντηση.
3Μεσαίοga-6.2-m2
Δύο χωριά απέχουν στην πραγματικότητα 36 km. Σε έναν χάρτη η απόστασή τους είναι 9 cm. Ποια είναι η κλίμακα του χάρτη;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η κλίμακα είναι ο λόγος της απόστασης πάνω στον χάρτη προς την πραγματική απόσταση, με τα δύο μήκη μετρημένα στην ίδια μονάδα.
2. 2
  Μετατρέπουμε πρώτα τα χιλιόμετρα σε εκατοστά.
3. 3
  Κάθε χιλιόμετρο έχει 100.000 cm, άρα τα 36 km είναι $36 \cdot 100.000 cm$ , δηλαδή 3.600.000 cm. Ο λόγος είναι λοιπόν $\frac{9}{3.600} .000$ .
4. 4
  Απλοποιούμε διαιρώντας και τους δύο όρους με το 9 και βρίσκουμε $\frac{1}{400.000}$ .
5. 5
  Άρα η κλίμακα του χάρτη είναι 1:400.000, δηλαδή κάθε εκατοστό του χάρτη αντιστοιχεί σε 400.000 εκατοστά, που είναι 4 χιλιόμετρα.
6. 6
  Ένας γρήγορος έλεγχος: 9 cm επί 4 km το εκατοστό δίνει 36 km, όσο και η πραγματική απόσταση.
4Εύκολοga-6.2-e2
Να λύσεις την αναλογία $\frac{x}{8} = \frac{15}{24}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε κάθε αναλογία τα χιαστί γινόμενα είναι ίσα.
2. 2
  Άρα $x \cdot 24 = 8 \cdot 15$ , δηλαδή $x \cdot 24 = 120$ , οπότε $x = \frac{120}{24} = 5$ .
3. 3
  Υπάρχει και δεύτερος, πιο σύντομος δρόμος: απλοποιούμε πρώτα το δεξιό μέλος, $\frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ .
4. 4
  Τότε η αναλογία γίνεται $\frac{x}{8} = \frac{5}{8}$ , δηλαδή δύο κλάσματα με τον ΙΔΙΟ παρονομαστή, οπότε πρέπει να έχουν και τον ίδιο αριθμητή και βρίσκουμε αμέσως $x = 5$ .
5. 5
  Επαλήθευση με χιαστί γινόμενα: $5 \cdot 24 = 120$ και $8 \cdot 15 = 120$ .
6. 6
  Τα δύο γινόμενα είναι ίσα.
5Εύκολοga-6.2-e1
Δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν μήκη 12 cm και 30 cm. α) Βρες τον λόγο του πρώτου προς το δεύτερο και απλοποίησέ τον. β) Βρες τον λόγο του δεύτερου προς το πρώτο. γ) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους οι δύο λόγοι;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ο λόγος δύο μεγεθών είναι το πηλίκο τους, με την προϋπόθεση ότι είναι μετρημένα στην ΙΔΙΑ μονάδα.
2. 2
  Εδώ και τα δύο μήκη είναι σε εκατοστά, οπότε μπορούμε να διαιρέσουμε κατευθείαν.
3. 3
  α) Ο λόγος του πρώτου προς το δεύτερο είναι $\frac{12}{30}$ .
4. 4
  Απλοποιούμε διαιρώντας και τους δύο όρους με το 6 και βρίσκουμε $\frac{2}{5}$ .
5. 5
  β) Ο λόγος του δεύτερου προς το πρώτο είναι $\frac{30}{12}$ .
6. 6
  Απλοποιούμε πάλι με το 6 και βρίσκουμε $\frac{5}{2}$ .
7. 7
  γ) Οι δύο λόγοι είναι αντίστροφοι: ο καθένας έχει για αριθμητή αυτό που ο άλλος έχει για παρονομαστή.
8. 8
  Το γινόμενό τους είναι $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1$ .
9. 9
  Κράτησε λοιπόν ότι ο λόγος αλλάζει αν αλλάξεις τη σειρά, και για αυτόν τον λόγο λέμε πάντα τον λόγο ΤΙΝΟΣ ΠΡΟΣ ΤΙ.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοga-6.2-h2
Για να φτιάξουμε μια συγκεκριμένη απόχρωση του πράσινου, ανακατεύουμε 3 κιλά μπλε χρώμα με 5 κιλά κίτρινο. α) Αν ανακατέψουμε 9 κιλά μπλε με 15 κιλά κίτρινο, θα πάρουμε την ίδια απόχρωση; β) Αν ανακατέψουμε 6 κιλά μπλε με 9 κιλά κίτρινο; γ) Πόσα κιλά κίτρινο χρειάζονται για 12 κιλά μπλε;
2Δύσκολοga-6.2-h1
Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές 8 cm και 6 cm. Ένα δεύτερο ορθογώνιο έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του πρώτου, έτσι ώστε ο λόγος κάθε πλευράς του ΔΕΥΤΕΡΟΥ προς την αντίστοιχη πλευρά του ΠΡΩΤΟΥ να είναι $\frac{3}{2}$ . α) Βρες τις πλευρές του δεύτερου ορθογωνίου. β) Βρες τον λόγο των περιμέτρων τους. γ) Βρες τον λόγο των εμβαδών τους. Τι παρατηρείς;
3Μεσαίοga-6.2-m2
Δύο χωριά απέχουν στην πραγματικότητα 36 km. Σε έναν χάρτη η απόστασή τους είναι 9 cm. Ποια είναι η κλίμακα του χάρτη;
4Μεσαίοga-6.2-m1
Σε έναν χάρτη με κλίμακα 1:250.000 δύο πόλεις απέχουν 8 cm. Πόσα χιλιόμετρα απέχουν στην πραγματικότητα;
5Μεσαίοga-6.2-m3
Σε μια φωτογραφία ένα δέντρο έχει ύψος 5 cm, ενώ το πραγματικό του ύψος είναι 6 $m$ . Πόσες φορές έχει σμικρυνθεί το δέντρο στη φωτογραφία;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Λόγοι, Αναλογίες, Ποσοστά & Ομοιότητα

← Προηγούμενο

6.1 Παράσταση σημείων στο επίπεδο

Επόμενο →

6.3 Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες αναλόγων ποσών