Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά›6.1 Παράσταση σημείων στο επίπεδο

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 6 - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

§6.1 Παράσταση σημείων στο επίπεδο

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📍Σύστημα ημιαξόνων

•
Σχεδιάζουμε δύο κάθετες ημιευθείες Οx και Οy και ορίζουμε την ίδια μονάδα μέτρησης πάνω σε κάθε μία. Αυτές αποτελούν ένα ορθογώνιο σύστημα ημιαξόνων.
•
Ο ημιάξονας Οx λέγεται ημιάξονας των τετμημένων (x). Ο ημιάξονας Οy λέγεται ημιάξονας των τεταγμένων (y). Το σημείο Ο ονομάζεται αρχή των ημιαξόνων.
•
Το σύστημα αυτό λέγεται ορθοκανονικό, γιατί οι ημιάξονες τέμνονται κάθετα (ορθο-) και έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης (-κανονικό).

🎯Συντεταγμένες σημείου

•
Σε κάθε σημείο Α του επιπέδου αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x, $y$ ) που λέγονται συντεταγμένες του σημείου.
💡 Παράδειγμα:
Α(3, 1): η τετμημένη είναι 3 και η τεταγμένη είναι 1.
▶️ Σημείο Μ(3, 1) με κάθετες προβολές στους άξονες — δείχνει τετμημένη και τεταγμένη
Πάτα ▶ για να δεις πώς ορίζουμε το σημείο Μ(3, 1).
Ταχύτητα
•
Το ζεύγος λέγεται «διατεταγμένο» γιατί η σειρά των αριθμών έχει σημασία.
💡 Παράδειγμα:
(3, 1) και (1, 3) είναι διαφορετικά σημεία.
•
Αντίστροφα, κάθε διατεταγμένο ζεύγος αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο του επιπέδου.
💡 Παράδειγμα:
Το ζεύγος (2, 4) ορίζει το σημείο Μ(2, 4).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στο σημείο

A (3, 1)

, η τετμημένη είναι

3

2Σωστό / Λάθος

Τα σημεία

(3, 1)

και

(1, 3)

είναι το ίδιο σημείο.

3Πολλαπλής επιλογής

Πώς λέγεται ο οριζόντιος ημιάξονας

O x

;

4Πολλαπλής επιλογής

Ποιες είναι οι συντεταγμένες της αρχής

O

των αξόνων;

5Πολλαπλής επιλογής

Στο σημείο

B (2, 5)

, ποια είναι η τεταγμένη;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-6.1-m3
Γράψε τέσσερα διατεταγμένα ζεύγη στα οποία η τετμημένη είναι κατά 2 μεγαλύτερη από την τεταγμένη. Αν τοποθετήσεις τα σημεία αυτά σε ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων, τι παρατηρείς;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Διαλέγουμε ελεύθερα την τεταγμένη και προσθέτουμε 2 για να βρούμε την τετμημένη.
2. 2
  Για τεταγμένη 0 παίρνουμε το (2, 0), για τεταγμένη 1 το (3, 1), για τεταγμένη 2 το (4, 2) και για τεταγμένη 3 το (5, 3).
3. 3
  Τοποθετώντας τα, παρατηρούμε ότι και τα τέσσερα βρίσκονται πάνω στην ΙΔΙΑ ευθεία γραμμή: κάθε φορά που προχωράμε μία μονάδα δεξιά, ανεβαίνουμε ακριβώς μία μονάδα πάνω, οπότε τα σημεία ανεβαίνουν με σταθερό βήμα.
4. 4
  Πρόσεξε ότι η ημιευθεία αυτή ΔΕΝ ξεκινά από την αρχή Ο(0, 0) αλλά από το σημείο (2, 0) του ημιάξονα Οx, γιατί η τετμημένη προηγείται πάντα κατά 2.
2Μεσαίοga-6.1-m1
Τοποθέτησε σε ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων τα σημεία Α(2, 1), Β(7, 1), Γ(7, 5) και Δ(2, 5) και ένωσέ τα με τη σειρά. α) Τι σχήμα σχηματίζεται; β) Πόση είναι η περίμετρός του και πόσο το εμβαδόν του, αν η μονάδα των ημιαξόνων είναι το 1 cm;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Τα Α και Β έχουν την ΙΔΙΑ τεταγμένη, το 1, άρα το τμήμα ΑΒ είναι οριζόντιο.
2. 2
  Το ίδιο ισχύει και για το ΔΓ, που έχει τεταγμένη 5.
3. 3
  Τα Α και Δ έχουν την ΙΔΙΑ τετμημένη, το 2, άρα το τμήμα ΑΔ είναι κατακόρυφο, όπως και το ΒΓ με τετμημένη 7.
4. 4
  Έχουμε δηλαδή δύο ζευγάρια απέναντι πλευρών, το ένα οριζόντιο και το άλλο κατακόρυφο, και οι οριζόντιες με τις κατακόρυφες τέμνονται κάθετα.
5. 5
  Το σχήμα είναι ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ.
6. 6
  β) Το μήκος μιας οριζόντιας πλευράς το βρίσκουμε από τη διαφορά των τετμημένων, δηλαδή $7 - 2 = 5 cm$ , και το μήκος μιας κατακόρυφης από τη διαφορά των τεταγμένων, δηλαδή $5 - 1 = 4 cm$ . Άρα η περίμετρος είναι $2 \cdot (5 + 4) = 18 cm$ και το εμβαδόν $5 \cdot 4 = 20$ τετραγωνικά εκατοστά.
3Μεσαίοga-6.1-m2
Σε μια αίθουσα θεάτρου κάθε θέση ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος της μορφής (σειρά, αριθμός θέσης). Η Άννα κάθεται στο (4, 9) και ο Βασίλης στο (9, 4). α) Κάθονται στην ίδια σειρά; β) Ένα εισιτήριο γράφει σειρά 6 και θέση 12. Γράψε τη θέση ως διατεταγμένο ζεύγος. γ) Γιατί δεν αρκεί να γράφει το εισιτήριο μόνο τον αριθμό 12;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΟΧΙ.
2. 2
  Ο πρώτος αριθμός του ζεύγους δείχνει τη σειρά.
3. 3
  Η Άννα είναι στη σειρά 4 και ο Βασίλης στη σειρά 9, άρα κάθονται σε διαφορετικές σειρές.
4. 4
  Παρατήρησε ότι τα δύο ζεύγη έχουν τους ΙΔΙΟΥΣ δύο αριθμούς με αντίστροφη σειρά, και όμως δείχνουν εντελώς διαφορετική θέση.
5. 5
  β) Το ζεύγος είναι το (6, 12): πρώτα η σειρά και μετά ο αριθμός της θέσης.
6. 6
  γ) Επειδή ο αριθμός 12 από μόνος του δεν λέει σε ΠΟΙΑ σειρά βρισκόμαστε.
7. 7
  Οι θέσεις κάθε σειράς αριθμούνται ξεχωριστά, ξεκινώντας από το 1, οπότε θέση με αριθμό 12 υπάρχει σε κάθε σειρά που έχει τουλάχιστον 12 θέσεις.
8. 8
  Ένας μόνο αριθμός λοιπόν δεν αρκεί για να ξεχωρίσει μία και μοναδική θέση, χρειάζονται και οι δύο.
9. 9
  Ακριβώς αυτό κάνει και το ζεύγος συντεταγμένων: με έναν αριθμό ορίζεις θέση πάνω σε μια γραμμή, ενώ με δύο ορίζεις θέση σε ολόκληρη την επιφάνεια.
4Εύκολοga-6.1-e2
Δίνονται τα σημεία Α(3, 8) και Β(8, 3). α) Ποια είναι η τετμημένη και ποια η τεταγμένη του καθενός; β) Είναι το ίδιο σημείο; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Στο ζεύγος γράφεται πάντα πρώτος ο αριθμός που μετριέται στον Οx.
2. 2
  Άρα το Α έχει τετμημένη 3 και τεταγμένη 8, ενώ το Β έχει τετμημένη 8 και τεταγμένη 3.
3. 3
  β) ΔΕΝ είναι το ίδιο σημείο.
4. 4
  Για να φτάσουμε στο Α προχωράμε 3 μονάδες δεξιά και ανεβαίνουμε 8, ενώ για το Β προχωράμε 8 μονάδες δεξιά και ανεβαίνουμε 3.
5. 5
  Καταλήγουμε σε δύο εντελώς διαφορετικές θέσεις.
6. 6
  Ακριβώς για αυτόν τον λόγο το ζεύγος λέγεται ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ: η σειρά των δύο αριθμών έχει σημασία και δεν εναλλάσσεται.
5Εύκολοga-6.1-e1
Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων δίνονται τα σημεία Κ(6, 0), Λ(0, 4) και Ο(0, 0). Πού βρίσκεται το καθένα; Τι κοινό έχουν όλα τα σημεία που έχουν τεταγμένη 0;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κάθε σημείο γράφεται με ένα διατεταγμένο ζεύγος, δηλαδή πρώτα η τετμημένη και μετά η τεταγμένη.
2. 2
  Η τετμημένη μετριέται πάνω στον οριζόντιο ημιάξονα Οx και η τεταγμένη πάνω στον κατακόρυφο Οy.
3. 3
  Το Κ(6, 0) έχει τεταγμένη 0, δηλαδή δεν ανεβαίνουμε καθόλου, οπότε το σημείο κάθεται ΠΑΝΩ στον ημιάξονα Οx, έξι μονάδες δεξιά από την αρχή.
4. 4
  Το Λ(0, 4) έχει τετμημένη 0, δηλαδή δεν προχωράμε καθόλου δεξιά, οπότε κάθεται ΠΑΝΩ στον ημιάξονα Οy, τέσσερις μονάδες πάνω από την αρχή.
5. 5
  Το Ο(0, 0) έχει και τους δύο αριθμούς μηδέν, άρα είναι η ίδια η αρχή των ημιαξόνων.
6. 6
  Γενικά λοιπόν, όλα τα σημεία με τεταγμένη 0 βρίσκονται πάνω στον ημιάξονα Οx, ενώ όλα τα σημεία με τετμημένη 0 βρίσκονται πάνω στον ημιάξονα Οy.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοga-6.1-h2
Δίνεται το σημείο Α(4, 3). Το σημείο Β έχει την ίδια τεταγμένη με το Α και τετμημένη 9. Το σημείο Γ έχει την ίδια τετμημένη με το Α και τεταγμένη 8. α) Γράψε τις συντεταγμένες των Β και Γ. β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ; γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του, αν η μονάδα των ημιαξόνων είναι το 1 cm;
2Δύσκολοga-6.1-h1
Τα σημεία Α(2, 6), Β(3, 9) και Γ(5, κ) έχουν όλα την ιδιότητα η τεταγμένη τους να είναι τριπλάσια από την τετμημένη τους. α) Βρες το κ. β) Έχει το σημείο Δ(4, 10) την ίδια ιδιότητα; γ) Υπάρχει σημείο με τετμημένη 0 που να έχει αυτή την ιδιότητα; δ) Τι παρατηρείς αν τοποθετήσεις πολλά σημεία με αυτή την ιδιότητα;
3Μεσαίοga-6.1-m2
Σε μια αίθουσα θεάτρου κάθε θέση ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος της μορφής (σειρά, αριθμός θέσης). Η Άννα κάθεται στο (4, 9) και ο Βασίλης στο (9, 4). α) Κάθονται στην ίδια σειρά; β) Ένα εισιτήριο γράφει σειρά 6 και θέση 12. Γράψε τη θέση ως διατεταγμένο ζεύγος. γ) Γιατί δεν αρκεί να γράφει το εισιτήριο μόνο τον αριθμό 12;
4Μεσαίοga-6.1-m1
Τοποθέτησε σε ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων τα σημεία Α(2, 1), Β(7, 1), Γ(7, 5) και Δ(2, 5) και ένωσέ τα με τη σειρά. α) Τι σχήμα σχηματίζεται; β) Πόση είναι η περίμετρός του και πόσο το εμβαδόν του, αν η μονάδα των ημιαξόνων είναι το 1 cm;
5Μεσαίοga-6.1-m3
Γράψε τέσσερα διατεταγμένα ζεύγη στα οποία η τετμημένη είναι κατά 2 μεγαλύτερη από την τεταγμένη. Αν τοποθετήσεις τα σημεία αυτά σε ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων, τι παρατηρείς;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

5.2 Προβλήματα με ποσοστά

Επόμενο →

6.2 Λόγος δύο αριθμών - Αναλογία