Κεφ. 4 - Εξισώσεις και Προβλήματα›4.1 Η έννοια της εξίσωσης - Οι απλές εξισώσεις α+x=β, αx=β, α:x=β κ.λπ.

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 4 - Εξισώσεις και Προβλήματα

§4.1 Η έννοια της εξίσωσης

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🟰Τι είναι εξίσωση

•
Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (τον άγνωστο).
💡 Παράδειγμα:
$x + 5 = 12, y - 2 = 3, 10 - z = 1, 7 \cdot φ = 14.$
•
Λύση (ή ρίζα) της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.
💡 Παράδειγμα:
$Λ \overset{υ}{ˊ} ση της x - 7 = 5 ε \overset{ι}{ˊ} ναι τ ο x = 12, γιατ \overset{ι}{ˊ} 12 - 7 = 5.$
•
Η διαδικασία εύρεσης της λύσης λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Τον άγνωστο τον συμβολίζουμε συνήθως με $x$ , $y$ , $z$ , ω, φ, ψ κ.λπ.

⚠️Ταυτότητες & αδύνατες εξισώσεις

•
Μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα (ή αόριστη) όταν επαληθεύεται από όλους τους αριθμούς.
💡 Παράδειγμα:
$x = x και 0 \cdot z = 0 ε \overset{ι}{ˊ} ναι ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητες .$
•
Μια εξίσωση λέγεται αδύνατη όταν κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει.
💡 Παράδειγμα:
$x + 2 = x + 6 και 0 \cdot ω = 5 ε \overset{ι}{ˊ} ναι αδ \overset{υ}{ˊ} νατες .$

🔑Επίλυση απλών εξισώσεων

•
Η εξίσωση $x + α = β$ έχει λύση: $x = β - α$
💡 Παράδειγμα:
$x + 5 = 12 \to x = 12 - 5 = 7.$
▶️ Ζυγαριά που λύνει την x + 5 = 12 αφαιρώντας 5 βαρίδια από κάθε πλευρά
x + 5 = 12
Αριστερό μέλος
x
1
1
1
1
1
=
Δεξί μέλος
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Η ζυγαριά ισορροπεί. Πάτα ▶ για να δεις πώς λύνουμε την εξίσωση.
Ταχύτητα
❓ Γιατί:Αφαιρώντας το α και από τις δύο πλευρές της ισότητας (αφαιρούμε ίσα από ίσα → η ισότητα διατηρείται), το α «φεύγει» από αριστερά και μένει $x = β - α$ .
📎 Δες και:
•
Η εξίσωση $x - α = β$ έχει λύση: $x = β + α$
💡 Παράδειγμα:
$y - 2 = 3 \to y = 3 + 2 = 5.$
•
Η εξίσωση $α - x = β$ έχει λύση: $x = α - β$
💡 Παράδειγμα:
$10 - z = 1 \to z = 10 - 1 = 9.$
•
Η εξίσωση $α \cdot x = β$ έχει λύση: $x = β : α$
💡 Παράδειγμα:
$7 \cdot φ = 14 \to φ = 14 : 7 = 2.$
•
Η εξίσωση $x$ : $α = β$ έχει λύση: $x = β \cdot α$
💡 Παράδειγμα:
$ω : 5 = 4 \to ω = 4 \cdot 5 = 20.$
•
Η εξίσωση α : $x = β$ έχει λύση: $x = α : β$
💡 Παράδειγμα:
$24 : ψ = 6 \to ψ = 24 : 6 = 4.$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοga-4.2-e3
Λύσε την εξίσωση: $12 \cdot x = 15$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ .
2Εύκολοga-4.2-e4
Λύσε την εξίσωση: $0, 001 \cdot y = 0, 0019$ .
Λύση βήμα-βήμα
$y = 0, \frac{0019}{0}, 001 = 1, 9$ .
3Εύκολοga-4.2-e1
Λύσε την εξίσωση: $x + \frac{3}{8} = \frac{5}{4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x = \frac{5}{4} - \frac{3}{8} = \frac{10}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$ .
4Εύκολοga-4.2-e5
Λύσε την εξίσωση: $x$ : $0, 01 = 78, 4$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x = 78, 4 \cdot 0, 01 = 0, 784$ .
5Εύκολοga-4.1-e2
Να εκφράσεις με αριθμούς και μεταβλητές: «Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί».
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Έστω $x$ ο πρώτος.
2. 2
  Οι τρεις διαδοχικοί: $x, x + 1, x + 2$ .
6Μεσαίοga-4.2-m1
Λύσε την εξίσωση: $\frac{x}{3} = \frac{28}{21}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{28}{21} = \frac{4}{3}$ . $\frac{x}{3} = \frac{4}{3}$
2. 2
  $x = 4$ .
7Μεσαίοga-4.2-m2
Λύσε την εξίσωση: $\frac{5}{9} + x = \frac{5}{6}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x = \frac{5}{6} - \frac{5}{9}$ .
2. 2
  $ΕΚΠ (6, 9) = 18$ .
3. 3
  $x = \frac{15}{18} - \frac{10}{18} = \frac{5}{18}$ .
8Εύκολοga-4.1-e3
Είναι ο αριθμός 2 λύση της εξίσωσης $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ .
2. 2
  Ναι, ο 2 είναι λύση.
9Εύκολοga-4.2-e2
Λύσε την εξίσωση: $41, 7 + x = 417$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x = 417 - 41, 7 = 375, 3$ .
10Εύκολοga-4.1-e1
Να εκφράσεις με αριθμούς και μεταβλητές: «Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 3».
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Έστω $x$ ο αριθμός.
2. 2
  Παράσταση: $2 x + 3$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοga-4.2-m1
Λύσε την εξίσωση: $\frac{x}{3} = \frac{28}{21}$ .
2Μεσαίοga-4.2-m2
Λύσε την εξίσωση: $\frac{5}{9} + x = \frac{5}{6}$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις 1ου βαθμού

← Προηγούμενο

3.5 Μονάδες μέτρησης

Επόμενο →

4.2 Επίλυση προβλημάτων