Κεφ. 2 - Τα Κλάσματα›2.5 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 2 - Τα Κλάσματα

§2.5 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

•
Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. $(\frac{α}{β}) \cdot (\frac{γ}{δ}) = \frac{α \cdot γ}{β \cdot δ}$
💡 Παράδειγμα:
$(\frac{3}{7}) \cdot (\frac{5}{4}) = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \frac{15}{28} .$
▶️ Πλέγμα με χρωματισμένες στήλες και γραμμές — η επικάλυψη = αριθμητής γινομένου
2/3 × 3/4
Πάτα ▶ για τη γεωμετρική απόδειξη του 2/3 × 3/4.
Ταχύτητα
•
Το γινόμενο φυσικού αριθμού επί κλάσμα είναι κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή επί τον φυσικό και τον ίδιο παρονομαστή. $λ \cdot (\frac{α}{β}) = \frac{λ \cdot α}{β}$
💡 Παράδειγμα:
$7 \cdot (\frac{3}{5}) = \frac{21}{5} .$
•
Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική) και στα κλάσματα.

•
Δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα όταν έχουν γινόμενο 1. Το αντίστροφο του $\frac{α}{β}$ είναι το $\frac{β}{α}$ (όταν α, β ≠ 0). $(\frac{α}{β}) \cdot (\frac{β}{α}) = 1$
💡 Παράδειγμα:
$T ο αντ \overset{ι}{ˊ} στροφο του \frac{5}{7} ε \overset{ι}{ˊ} ναι τ ο \frac{7}{5}, γιατ \overset{ι}{ˊ} (\frac{5}{7}) \cdot (\frac{7}{5}) = \frac{35}{35} = 1.$

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοga-2.5-e1
Υπολόγισε: $\frac{2}{3}$ · $\frac{5}{7}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$ .
2Μεσαίοga-2.5-m1
Αν από τα $\frac{3}{8}$ μιας τούρτας φάμε τα $\frac{2}{5}, τ ι$ μέρος της αρχικής τούρτας έχουμε φάει;
Λύση βήμα-βήμα
$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$ της τούρτας.
3Εύκολοga-2.5-e4
Υπολόγισε τη δύναμη ( $\frac{3}{2}$ )³.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$(\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8}$ .
4Μεσαίοga-2.5-m2
Να βρεις τα $\frac{3}{4}$ του $\frac{1}{3}$ του 1200.
Λύση βήμα-βήμα
$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1200 = \frac{3 \cdot 1 \cdot 1200}{4 \cdot 3} = \frac{3600}{12} = 300$ .
5Μεσαίοga-2.5-m3
Να βρεις τους αντίστροφους των: 5, $\frac{1}{13}$ , $\frac{9}{12}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αντίστροφος του 5: $\frac{1}{5}$ .
2. 2
  Του $\frac{1}{13}$ : 13.
3. 3
  Του $\frac{9}{12}$ : $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ .
6Εύκολοga-2.5-e2
Υπολόγισε: $\frac{9}{4}$ · $\frac{12}{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$\frac{9}{4} \cdot \frac{12}{3} = \frac{108}{12} = 9$ .
7Εύκολοga-2.5-e3
Υπολόγισε τη δύναμη ( $\frac{1}{3}$ )².
Λύση βήμα-βήμα
$(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ .

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοga-2.5-m1
Αν από τα $\frac{3}{8}$ μιας τούρτας φάμε τα $\frac{2}{5}, τ ι$ μέρος της αρχικής τούρτας έχουμε φάει;
2Μεσαίοga-2.5-m2
Να βρεις τα $\frac{3}{4}$ του $\frac{1}{3}$ του 1200.
3Μεσαίοga-2.5-m3
Να βρεις τους αντίστροφους των: 5, $\frac{1}{13}$ , $\frac{9}{12}$ .
4Δύσκολοga-2.5-h1
Ο Κώστας είχε 540€ και δάνεισε στην αδελφή του το $\frac{1}{3}$ του ποσού. Από τα υπόλοιπα χρήματα ξόδεψε τα $\frac{8}{9}$ . Πόσα του περίσσεψαν;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες