Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί›1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί

§1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση & πολλαπλασιασμός

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

➕Πρόσθεση

•
Στην πρόσθεση $13 + 5 = 18$ , οι αριθμοί 13 και 5 λέγονται προσθετέοι και το 18 άθροισμα.
•
Το άθροισμα ενός φυσικού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. $α + 0 = 0 + α = α$
💡 Παράδειγμα:
$7 + 0 = 7, 0 + 25 = 25.$
•
Αντιμεταθετική ιδιότητα: μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των προσθετέων. $α + β = β + α$
💡 Παράδειγμα:
$7 + 3 = 3 + 7 = 10.$
•
Προσεταιριστική ιδιότητα: ομαδοποιούμε ελεύθερα τους προσθετέους. $(α + β) + γ = α + (β + γ)$
💡 Παράδειγμα:
$(5 + 4) + 2 = 5 + (4 + 2) = 11.$

➖Αφαίρεση

•
Αφαίρεση είναι η πράξη όπου δίνονται Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος) και βρίσκουμε τη Δ (διαφορά) που, όταν προστεθεί στο Α, δίνει το Μ.
$M = A + Δ$ $⟺ Δ = M - A$
💡 Παράδειγμα:
$12 - 5 = 7, γιατ \overset{ι}{ˊ} 7 + 5 = 12.$
•
Στους φυσικούς, ο αφαιρετέος Α πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του μειωτέου Μ. Αλλιώς, η αφαίρεση δεν μπορεί να εκτελεστεί.
💡 Παράδειγμα:
Το $5 - 8 δεν$ υπολογίζεται στους φυσικούς (θα δούμε αρνητικούς στο Κεφ.7).

✖️Πολλαπλασιασμός

•
Στο $7 \cdot 6 = 42$ , οι 7 και 6 λέγονται παράγοντες και το 42 γινόμενο.
•
Το γινόμενο ενός φυσικού με τη μονάδα ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. $α \cdot 1 = 1 \cdot α = α$
💡 Παράδειγμα:
$8 \cdot 1 = 8.$
•
Το γινόμενο ενός φυσικού με το μηδέν ισούται με μηδέν. $α \cdot 0 = 0 \cdot α = 0$
•
Αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. $α \cdot β = β \cdot α$
💡 Παράδειγμα:
$4 \cdot 5 = 5 \cdot 4 = 20.$
•
Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. $(α \cdot β) \cdot γ = α \cdot (β \cdot γ)$
•
Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. $α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$
💡 Παράδειγμα:
$8 \cdot (10 + 3) = 8 \cdot 10 + 8 \cdot 3 = 80 + 24 = 104.$
•
Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση. $α \cdot (β - γ) = α \cdot β - α \cdot γ$
💡 Παράδειγμα:
$76 \cdot 13 - 76 \cdot 3 = 76 \cdot (13 - 3) = 76 \cdot 10 = 760.$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η αντιμεταθετική ιδιότητα λέει ότι

α + β = β + α

2Σωστό / Λάθος

Στους φυσικούς αριθμούς μπορούμε πάντα να εκτελέσουμε την αφαίρεση 5 − 8.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

8 \cdot (10 + 3) = 8 \cdot 10 + 8 \cdot 3

4Πολλαπλής επιλογής

Με την επιμεριστική ιδιότητα, πόσο κάνει 7 · 99;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο κάνει 60 − (18 − 2);

6Πολλαπλής επιλογής

Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή για κάθε φυσικό α;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται νοερός ή γρήγορος υπολογισμός αθροίσματος ή γινομένου πολλών όρων.

Βήματα

1Ψάξε όρους που μαζί δίνουν στρογγυλό αποτέλεσμα (10, 100, 1.000 …).
2Με την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα φέρε τους μαζί.
3Υπολόγισε πρώτα το στρογγυλό κομμάτι και μετά τα υπόλοιπα.

Παράδειγμα

25 + 47 + 75 = (25 + 75) + 47 = 100 + 47 = 147

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να υπολογίσεις με έξυπνη ομαδοποίηση: 38 + 56 + 62.
2
Να υπολογίσεις με την επιμεριστική ιδιότητα: 4 · 99.
3
Να υπολογίσεις με την επιμεριστική ιδιότητα: 12 · 101.
4
Να βγάλεις κοινό παράγοντα και να υπολογίσεις: 34 · 99 + 34 · 1.
5
Να συμπληρώσεις: $α + 0 =$ ; και $α \cdot 1 =$ ;
6
Πόσο κάνει 879 · 1.000;
7
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 12 και διαφορά 2. Ποιοι είναι;
8
Αγοράσαμε σχολικά είδη που κόστιζαν 156 €, 38 €, 369 € και 432 €. Πόσο πληρώσαμε συνολικά;
9
Σε μια αφαίρεση ο μειωτέος είναι $M = 7.321$ και ο αφαιρετέος $A = 4.595$ . Να βρεις τη διαφορά Δ.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να υπολογίσεις γρήγορα το γινόμενο 8 · 25 · 13 · 4.

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να υπολογίσεις την παράσταση 17 · 36 + 17 · 64 χωρίς να κάνεις τους δύο πολλαπλασιασμούς χωριστά.

Το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών είναι 0. Τι συμπεραίνεις για τους αριθμούς;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Σε ένα σχολείο αγοράστηκαν 24 κιβώτια με χαρτί. Κάθε κιβώτιο έχει 5 πακέτα και κάθε πακέτο 500 φύλλα.

α) Πόσα φύλλα χαρτί αγοράστηκαν συνολικά;

β) Αν χρησιμοποιήθηκαν τα 18.000 φύλλα, πόσα έμειναν;

γ) Με την επιμεριστική ιδιότητα, υπολόγισε το συνολικό κόστος αν κάθε κιβώτιο κοστίζει 19 €.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.2 — Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός

Ύλη: §1.2Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Ισχύει

(α + β) + γ = α + (β + γ)

β) Για κάθε φυσικό α ισχύει

α \cdot 0 = α

γ) Η αφαίρεση 12 − 5 δίνει 7, γιατί

7 + 5 = 12

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

Π = 4 \cdot 25 + 4 \cdot 75

α) Να υπολογίσεις την Π με την επιμεριστική ιδιότητα.

β) Να υπολογίσεις γρήγορα το γινόμενο 2 · 17 · 50.

ΘΕΜΑ Γ

Ένας ταμίας είχε 5.000 € και έκανε δύο πληρωμές: 1.250 € και 875 €.

α) Πόσα χρήματα πλήρωσε συνολικά;

β) Πόσα χρήματα του έμειναν;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

➖ Quiz · Ρητοί αριθμοί & Πράξεις

← Προηγούμενο

1.1 Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση

Επόμενο →

1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών