Γ.1.3 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων - Μέσο τμήματος
1.
Πάνω σε μια ημιευθεία Οx παίρνουμε τα σημεία Κ και Λ ώστε OK=2cm και OΛ=6cm. Αν Α είναι το μέσο του τμήματος ΚΛ, να βρεις το μήκος του ΟΑ.
ΛύσηΕπειδή τα Κ και Λ είναι στην ίδια ημιευθεία με αρχή το Ο και OK<OΛ, το Κ βρίσκεται ανάμεσα στο Ο και στο Λ. Άρα KΛ=OΛ−OK=6−2=4cm. Το Α είναι το μέσο του ΚΛ, οπότε KA=4 : 2=2cm. Τέλος OA=OK+KA=2+2=4cm.
2.
Πάνω σε μια ημιευθεία Οx παίρνουμε τα σημεία Κ, Λ και Ν ώστε OK=3cm,OΛ=5cm και ON=11cm. Έστω Μ το μέσο του τμήματος ΛΝ. Να βρεις τα μήκη:
α)ΚΛ
ΛύσηΚαι τα δύο σημεία είναι στην ίδια ημιευθεία, άρα KΛ=OΛ−OK=5−3=2cm.
β)ΛΝ
ΛύσηΛN=ON−OΛ=11−5=6cm.
γ)ΟΜ
ΛύσηΤο Μ είναι μέσο του ΛΝ, άρα ΛM=6 : 2=3cm. Οπότε OM=OΛ+ΛM=5+3=8cm.
δ)ΚΜ
ΛύσηKM=OM−OK=8−3=5cm.
Γ.1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών - Διχοτόμος γωνίας
3.
Να συγκρίνεις την πλήρη γωνία και την ευθεία γωνία με την ορθή γωνία. Πόσες ορθές γωνίες είναι καθεμία από αυτές;
ΛύσηΗ ορθή γωνία είναι 90°, η ευθεία γωνία 180° και η πλήρης γωνία 360°. Διαιρώ με το 90 για να δω πόσες ορθές είναι καθεμία: η ευθεία είναι 180 : 90=2 ορθές και η πλήρης 360 : 90=4 ορθές. Άρα και οι δύο είναι μεγαλύτερες από την ορθή, με την πλήρη διπλάσια της ευθείας.
Γ.1.8 Παραπληρωματικές και συμπληρωματικές γωνίες - Κατακορυφήν γωνίες
4.
Να βρεις:
α)την παραπληρωματική γωνία των 72°
ΛύσηΔύο γωνίες είναι παραπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι 180°. Άρα η ζητούμενη είναι 180° − 72° =108°.
β)τη συμπληρωματική γωνία των 47°
ΛύσηΔύο γωνίες είναι συμπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι 90°. Άρα η ζητούμενη είναι 90° − 47° =43°.
Γ.1.11 Κύκλος και στοιχεία του κύκλου
5.
Πόσοι κύκλοι με ακτίνα 4 cm μπορούν να σχεδιαστούν που να διέρχονται από ένα δοσμένο σημείο Μ; Πού βρίσκονται τα κέντρα τους;
ΛύσηΈνας κύκλος με ακτίνα 4 cm περνάει από το Μ ακριβώς όταν το κέντρο του απέχει 4 cm από το Μ. Τέτοια σημεία υπάρχουν ΑΠΕΙΡΑ, και όλα μαζί σχηματίζουν τον κύκλο με κέντρο το Μ και ακτίνα 4 cm. Άρα οι ζητούμενοι κύκλοι είναι άπειροι και τα κέντρα τους βρίσκονται πάνω στον κύκλο (Μ, 4 cm).
✏️ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Χωρίς λύσεις — για την τάξη ή για το σπίτι.
Γ.1.3 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων - Μέσο τμήματος
1.
Πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα AB=20cm παίρνουμε δύο σημεία Γ και Δ, με τη σειρά Α, Γ, Δ, Β, ώστε AB=4⋅AΓ και ΓB=5⋅ΔB. Αν Ο είναι το μέσο του ΓΔ, να βρεις:
α)τα μήκη ΑΓ, ΓΒ, ΔΒ και ΓΔ
β)το μήκος του ΟΔ
Γ.1.7 Εφεξής και διαδοχικές γωνίες - Άθροισμα γωνιών
2.
Τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο και σχηματίζουν γύρω από αυτό έξι διαδοχικές γωνίες. Αν δύο εφεξής από αυτές είναι 50° και 70°, να υπολογίσεις τις υπόλοιπες τέσσερις.
Γ.1.8 Παραπληρωματικές και συμπληρωματικές γωνίες - Κατακορυφήν γωνίες
3.
Σχεδιάζουμε μια γωνία 130° και την κατακορυφήν της, και φέρνουμε τις διχοτόμους των δύο αυτών γωνιών. Να δείξεις ότι οι δύο διχοτόμοι είναι αντικείμενες ημιευθείες και να βρεις πόσων μοιρών είναι η γωνία που σχηματίζουν.
Γ.1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο
4.
Είναι δυνατόν να υπάρχουν τρεις ευθείες στο επίπεδο, ώστε η καθεμιά να είναι κάθετη και στις άλλες δύο; Να αιτιολογήσεις την απάντησή σου.
Γ.1.13 Θέσεις ευθείας και κύκλου
5.
Μια ευθεία ε τέμνει τον κύκλο (Ο, 9 cm) στα σημεία Α και Β.
α)Ποιο είναι το μήκος της διαμέτρου του κύκλου;
β)Πώς λέγεται η ευθεία ε ως προς τον κύκλο;
γ)Θα μπορούσε να ισχύει AB=20cm;
δ)Μπορεί η απόσταση του Ο από την ευθεία ε να είναι 10 cm;