ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ · Β΄ ΓΥΜΝΑΣΊΟΥ

Κεφάλαιο 3: Συναρτήσεις

Από το σημείο στο επίπεδο, ως τη σύγκριση σχέσεων

MathHub.gr

Ονοματεπώνυμο: ______________________________

Τμήμα: ______

Ημ/νία: __________

Βαθμός: __ /100

📐 Τύποι-κλειδιά του κεφαλαίου

Αναλογία

y = α x

ευθεία από το Ο· α = κλίση = y/x (σταθερό)

Γραμμική

y = α x + β

α = κλίση, β = αρχική τιμή — τέμνει τον y στο (0, β)

Αντίστροφη

y = \frac{α}{x}

υπερβολή· x·y = α (σταθερό γινόμενο)

Ανήκει σημείο;

M (α, β) \in C_{f} ⟺ β = f (α)

οι συντεταγμένες επαληθεύουν τον τύπο

ΜΕΡΟΣ Α — Ζέσταμα — σημείο & συνάρτηση

Πριν τις ευθείες, βεβαιωνόμαστε ότι «διαβάζουμε» σωστά το επίπεδο και ξέρουμε πότε μια σχέση είναι συνάρτηση.

Α1★★★★★

Τοποθέτησε τα σημεία

A (3, 2), B (- 2, 4), Γ (- 3, - 1), Δ (2, - 3)

σε ένα σύστημα αξόνων και γράψε σε ποιο τεταρτημόριο ανήκει το καθένα.

Α2★★★★★

Δίνονται δύο αντιστοιχίσεις

x

→

y

. Ποια ΕΙΝΑΙ συνάρτηση και γιατί;

(α) Σε κάθε μαθητή αντιστοιχίζω το ύψος του.

(β) Σε κάθε ύψος αντιστοιχίζω τους μαθητές που το έχουν.

Α3★★★★★

Δίνεται η συνάρτηση

y = 2 x - 2

. Ποια από τα σημεία

K (4, 6), Λ (- 1, - 4), M (0, - 2)

ανήκουν στη γραφική της;

ΜΕΡΟΣ Β — Αναλογία y = αx

Νήμα: ένα ποδήλατο κινείται σταθερά. Η ίδια κίνηση θα μας ακολουθήσει — κράτα τον τύπο που βρίσκεις στη Β1.

Β1★★★★★

Ποδήλατο κινείται σταθερά. Σε 2

s

διανύει 5

m

, σε 4

s

→ 10

m

, σε 6

s

→ 15

m

(α) Δείξε ότι απόσταση και χρόνος είναι ανάλογα (έλεγξε τον λόγο

\frac{y}{x}

(β) Γράψε τον τύπο

y = α x

και πες τι σημαίνει το α εδώ.

Β2★★★★★

Με τον τύπο

y = 2, 5 x

της Β1: (α) Σχεδίασε τη γραφική (αρκούν 2 σημεία — το Ο και ένα ακόμα). (β) Διάβασε από τη γραφική πόσα

m

έχει κάνει στα 3

s

και επαλήθευσε με τον τύπο.

Γραφική παράσταση: y = 2,5x

Β3★★★★★

Ένας δεύτερος ποδηλάτης έχει τύπο

y = 4 x

. Χωρίς να σχεδιάσεις, εξήγησε ποιος είναι γρηγορότερος και πόσο πιο μπροστά θα είναι ο γρήγορος μετά από 10

s

ΜΕΡΟΣ Γ — Γραμμική y = αx + β

Νήμα: τώρα μπαίνει ένα «πάγιο». Πρόσεξε ότι το α κρατά τη σημασία της Β (ρυθμός), αλλά το β μετακινεί την ευθεία ώστε να μην ξεκινά από το μηδέν.

Γ1★★★★★

Ταξί χρεώνει 2,5 € «σημαία» + 1,2 € ανά χιλιόμετρο.

(α) Γράψε τον τύπο χρέωσης

y

για

x

χιλιόμετρα.

(β) Πες ποιο είναι το α και ποιο το β, και τι σημαίνει το καθένα.

(γ) Πόσο κοστίζει διαδρομή 8 km;

Γ2★★★★★

Μια ευθεία έχει κλίση 0,5 και περνά από το σημείο (−2, 0). Βρες τον τύπο της

y = α x + β

Γ3★★★★★

Δίνονται οι ευθείες

y = 0, 5 x + 1

(της Γ2) και

y = 0, 5 x - 2

(α) Γιατί είναι παράλληλες;

(β) Σε ποια σημεία τέμνει η καθεμία τον άξονα

y

;

Γραφική παράσταση: y = 0,5x + 1

ΜΕΡΟΣ Δ — Αντίστροφη αναλογία y = α/x

Νήμα: εδώ η σχέση «γυρίζει ανάποδα» — όταν το ένα μεγαλώνει, το άλλο μικραίνει, αλλά το γινόμενο μένει σταθερό.

Δ1★★★★★

Εκδρομή κοστίζει συνολικά 300 €, μοιρασμένο εξίσου. Με 10 παιδιά → 30 €/παιδί, με 20 → 15 €/παιδί.

(α) Δείξε ότι το πλήθος

x

και το κόστος/παιδί

y

είναι αντιστρόφως ανάλογα (έλεγξε το γινόμενο).

(β) Γράψε τον τύπο και βρες το κόστος/παιδί αν πάνε 25 παιδιά.

Δ2★★★★★

Για τη συνάρτηση

y = \frac{α}{x}

(α) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι όταν

α > 0

και όταν

α < 0

;

(β) Γιατί η υπερβολή δεν τέμνει ΠΟΤΕ τους άξονες;

Γραφική παράσταση: y = 6/x

ΜΕΡΟΣ Ε — Σύνθεση — ποια σχέση συμφέρει;

Το πρόβλημα-κορωνίδα: συγκρίνουμε ΔΥΟ σχέσεις και βρίσκουμε πότε η μία γίνεται καλύτερη από την άλλη — εκεί όπου τα γραφήματα τέμνονται.

Ε1★★★★★

Δύο εταιρείες κινητής για

x

λεπτά ομιλίας τον μήνα. Εταιρεία Α: 0,10 €/λεπτό, χωρίς πάγιο. Εταιρεία Β: 5 € πάγιο + 0,05 €/λεπτό.

(α) Γράψε τον τύπο κόστους για κάθε εταιρεία. Ποια είναι αναλογία και ποια γραμμική;

(β) Για 80 λεπτά, ποια συμφέρει;

(γ) Για πόσα λεπτά κοστίζουν ΤΟ ΙΔΙΟ; (βρες το «σημείο ισορροπίας»)

Ε2★★★★★

Ορθογώνιο έχει σταθερό εμβαδόν 24 c

m^{2}

. Συμβολίζουμε με

x

το μήκος και

y

το πλάτος.

(α) Ποια σχέση συνδέει τα

x

και

y

; Γράψε τον τύπο

y = f (x)

(β) Συμπλήρωσε: αν

x = 2

→

y =

; αν

x = 8

→

y =

; Τι παρατηρείς όταν μεγαλώνει το

x

;

(γ) Μπορεί το ορθογώνιο να γίνει τετράγωνο; Αν ναι, για ποια πλευρά;

Λυσάρι · Κεφάλαιο 3Συναρτήσεις

ΜΕΡΟΣ Α — Ζέσταμα — σημείο & συνάρτηση

Α1.Α(3,2): (+,+) → 1ο τεταρτημόριο.

B (- 2, 4)

: (−,+) → 2ο.

Γ (- 3, - 1)

: (−,−) → 3ο.

Δ (2, - 3)

: (+,−) → 4ο.

Α2.(α) Συνάρτηση: κάθε μαθητής έχει ΕΝΑ ύψος (μοναδική τιμή).(β) ΟΧΙ συνάρτηση: ένα ύψος μπορεί να το έχουν πολλοί μαθητές (ένα

x

→ πολλά

y

Α3.Κ(4,6):

2 \cdot 4 - 2 = 6 = 6

✓ ανήκει.

Λ (- 1, - 4)

2 \cdot (- 1) - 2 = - 4 = - 4

✓ ανήκει.

M (0, - 2)

2 \cdot 0 - 2 = - 2 = - 2

✓ ανήκει. (Είναι το σημείο τομής με τον

y

ΜΕΡΟΣ Β — Αναλογία y = αx

Β1.

(α) \frac{5}{2} = 2, 5, \frac{10}{4} = 2, 5, \frac{15}{6} = 2, 5

. Σταθερός λόγος → ανάλογα.

(β) α = 2, 5

. Τύπος:

y = 2, 5 x

. Το

α = 2, 5

είναι η ταχύτητα (m ανά

s

Β2.(α) Ο(0,0) και (2, 5) → χαράζω την ευθεία.

(β) Στα x = 3

y = 2, 5 \cdot 3 = 7, 5 m

. (Από γραφική, σημείο (3, 7,5).)

Β3.Μεγαλύτερη κλίση

(4 > 2, 5)

→ ο δεύτερος είναι γρηγορότερος (πιο απότομη ευθεία).Στα 10

s

: πρώτος 25

m

, δεύτερος 40

m

. Διαφορά

40 - 25 = 15 m

μπροστά.

ΜΕΡΟΣ Γ — Γραμμική y = αx + β

Γ1.

(α) y = 1, 2 x + 2, 5

(β) α = 1, 2

(κόστος

/ χλμ

— ο ρυθμός

), β = 2, 5 (

η σημαία — η αρχική τιμή για

x

=0).

(γ) y = 1, 2 \cdot 8 + 2, 5 = 9, 6 + 2, 5 = 12, 1

€.

Γ2.

α = 0, 5

→

y = 0, 5 x + β

.Περνά από (−2, 0):

0 = 0, 5 \cdot (- 2) + β

→

0 = - 1 + β

→

β = 1

.Τύπος:

y = 0, 5 x + 1

Γ3.(α) Ίδια κλίση

(α = 0, 5)

→ παράλληλες· διαφέρουν μόνο στο β (μετατόπιση).(β) Η πρώτη στο (0, 1), η δεύτερη στο (0, −2) — δηλαδή στο (0, β) η καθεμία.

ΜΕΡΟΣ Δ — Αντίστροφη αναλογία y = α/x

Δ1.

(α) 10 \cdot 30 = 300, 20 \cdot 15 = 300

. Σταθερό γινόμενο

x \cdot y = 300

→ αντιστρόφως ανάλογα.

(β) y = \frac{300}{x}

. Για

x = 25

y = \frac{300}{25} = 12

€/παιδί.

Δ2.

(α) α > 0

→ 1ο & 3ο τεταρτημόριο.

α < 0

→ 2ο & 4ο.(β) Αν

x = 0

το

\frac{α}{x} δεν

ορίζεται (δεν αγγίζει τον

y

). Και

y = \frac{α}{x} \neq = 0

ποτέ (αριθμητής α ≠ 0) → δεν αγγίζει τον

x

ΜΕΡΟΣ Ε — Σύνθεση — ποια σχέση συμφέρει;

Ε1.(α) Α:

y = 0, 10 x

(αναλογία, από Ο). Β:

y = 0, 05 x + 5

(γραμμική, με πάγιο β=5).(β) 80 λεπτά → Α: 8 €, Β:

0, 05 \cdot 80 + 5 = 9

€. Συμφέρει η Α.

(γ) 0, 10 x = 0, 05 x + 5

→

0, 05 x = 5

→

x = 100

λεπτά. (Πάνω από 100 συμφέρει η Β, κάτω η Α.)

Ε2.

(α) x \cdot y = 24

(σταθερό εμβαδόν) →

y = \frac{24}{x}

. Αντίστροφη αναλογία (υπερβολή).

(β) x = 2

→

y = 12, x = 8

→

y = 3

. Όσο μεγαλώνει το μήκος, μικραίνει το πλάτος (γινόμενο σταθερό).(γ) Τετράγωνο όταν

x = y

x^{2} = 24

→

x = 24 \approx 4, 9 cm

. (Η πλευρά είναι η ρίζα του εμβαδού.)

MathHub.gr — Premium φύλλο εργασίαςΠασχάλης Τράκας, Διπλ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός